例　題　





＜例題＞９０人の学生の中で、ドイツ語を受講している学生が６２人、フランス語を受講してい

　　　　る学生が７６人いる。ドイツ語とフランス語、両方を受講している学生は少なくとも何

　　　　人いるか。

＜解答＞９０人の学生を表わす記号を要素とする集合を Ｕ とし、ドイツ語を受講している学生

　　　　を表わす記号を要素とする集合を Ａ， フランス語を受講している学生を表わす記号を

　　　　要素とする集合を Ｂ とすると、

　　　　条件より、ｎ(Ａ)＝６２、　ｎ(Ｂ)＝７６

　　　　　　　ｎ(Ａ∪Ｂ)＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)−ｎ(Ａ∩Ｂ)

　　　　　　　　　　　　＝６２＋７６−ｎ(Ａ∩Ｂ)・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）


　　　　Ｂ⊂Ａ∪Ｂ⊂Ｕ から、

                   　ｎ(Ｂ)≦ｎ(Ａ∪Ｂ)≦ｎ(Ｕ)

　　　　　　　　　　　　７６≦ｎ(Ａ∪Ｂ)≦９０・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　(１)、(２) より、７６≦６２＋７６−ｎ(Ａ∩Ｂ)≦９０

　　　　　　　　　　　　　　−６２≦ｎ(Ａ∩Ｂ)≦９０−７６−６２

　　　　　　　　−９０＋７６＋６２≦ｎ(Ａ∩Ｂ)≦６２

　　　　　　　　　　　　　　　４８≦ｎ(Ａ∩Ｂ)≦６２・・・・・・・・・・・・・・・（３）


　　　　Ａ⊂Ａ∪Ｂ⊂Ｕ から、

                   　ｎ(Ａ)≦ｎ(Ａ∪Ｂ)≦ｎ(Ｕ)

　　　　　　　　　　　　６２≦ｎ(Ａ∪Ｂ)≦９０・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）

　　　　(１)、(４) より、６２≦６２＋７６−ｎ(Ａ∩Ｂ)≦９０

　　　　　　　　　　　　　　−７６≦ｎ(Ａ∩Ｂ)≦９０−７６−６２

　　　　　　　　−９０＋７６＋６２≦ｎ(Ａ∩Ｂ)≦７６

　　　　　　　　　　　　　　　４８≦ｎ(Ａ∩Ｂ)≦７６・・・・・・・・・・・・・・・（５）


　　　　(３)、(５) より、ｎ(Ａ∩Ｂ) は少なくとも ４８

　　　　従って、ドイツ語とフランス語を受講している学生は少なくとも ４８人・・・・（答）





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