例　題　





＜問題＞５０人いる１クラスで調査した結果、赤色が好きな人は２５人、青色が好きな人は２７

　　　　人、黄色が好きな人は２４人、赤色と青色が好きな人は１１人、青色と黄色が好きな人

　　　　は１０人、赤色と黄色が好きな人は１２人、赤色、青色、黄色すべて嫌いな人は３人で

　　　　した。すべての色が好きな人は何人ですか？

＜解答＞クラス全体の人の集合を Ｕ，赤色が好きな人の集合を Ａ，青色が好きな人の集合

　　　　を Ｂ，黄色が好きな人の集合を Ｃ とすると、

　　　　　　　　　ｎ(Ｕ)＝５０人

　　　　　　　　　ｎ(Ａ)＝２５人

　　　　　　　　　ｎ(Ｂ)＝２７人

　　　　　　　　　ｎ(Ｃ)＝２４人

　　　　　　　　　ｎ(Ａ∩Ｂ)＝１１人

　　　　　　　　　ｎ(Ｂ∩Ｃ)＝１０人

　　　　　　　　　ｎ(Ｃ∩Ａ)＝１２人

　　　　　　　　　ｎ{(ＡＵＢＵＣ)ｎ}＝３人

　　　　　上の式より、

　　　　　　ｎ(ＡＵＢＵＣ)＋ｎ{(ＡＵＢＵＣ)ｎ}＝ｎ(Ｕ）から、

　　　　　　　　　　　　　ｎ(ＡＵＢＵＣ)＋３人＝５０人

　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ(ＡＵＢＵＣ)＝４７人

　　　　　　ｎ(ＡＵＢＵＣ)＝ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)＋ｎ(Ｃ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　−ｎ(Ａ∩Ｂ)−ｎ(Ｂ∩Ｃ)−ｎ(Ｃ∩Ａ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ）から、

　　　　　　　４７人＝２５人＋２７人＋２４人−１１人−１０人−１２人＋ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)

　　　　　　　　７人＝５人＋７人＋２４人−１１人−１０人−１２人＋ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)

　　　　　　　　０人＝５人＋２４人−１１人−１０人−１２人＋ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)

　　　　　　　　　　＝２９人−３３人＋ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)

　　　　　　　　　　＝−４人＋ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)

　　　　　∴　ｎ(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)＝４人・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（答）






＜例題＞４０人の生徒のうち、Ａ市に行ったことのある生徒は１８人、Ｂ市に行ったことのある

　　　　生徒は２５人、どちらにも行ったことのある生徒は９人であった。どちらか一方に行っ

　　　　たことのある生徒と、どちらにも行ったことのない生徒を求めよ。

＜解答＞Ａ市に行ったことのある生徒の集合を Ａ、Ｂ市に行ったことのある生徒の集合を Ｂ，

　　　　生徒全体の集合を Ｕ とすると、

　　　　条件より、ｎ(Ｕ)＝４０人

　　　　　　　　　ｎ(Ａ)＝１８人

　　　　　　　　　ｎ(Ｂ)＝２５人

　　　　　　　　　ｎ(Ａ∩Ｂ)＝９人

　　　　上の式と ｎ(Ａ)＋ｎ(Ｂ)＝ｎ(Ａ∪Ｂ)＋ｎ(Ａ∩Ｂ) から、

　　　　　　　１８人＋２５人＝ｎ(Ａ∪Ｂ)＋９人

　　　　　　　　　ｎ(Ａ∪Ｂ)＝１８人＋２５人−９人＝３４人

　　　　上の式と ｎ(Ａ∪Ｂ)＋ｎ{(Ａ∪Ｂ)ｎ}＝ｎ(Ｕ) から、

　　　　　　　３４人＋ｎ{(Ａ∪Ｂ)ｎ}＝４０人

　　　　　　　　　　　ｎ{(Ａ∪Ｂ)ｎ}＝４０人−３４人＝６人

　　　　上の式と ｎ(Ａ∩Ｂ)＋ｎ(Ａ∩Ｂｎ)＝ｎ(Ａ) から、

　　　　　　　９人＋ｎ(Ａ∩Ｂｎ)＝１８人

　　　　　　　　　　ｎ(Ａ∩Ｂｎ)＝１８人−９人＝９人

　　　　上の式と ｎ(Ａ∩Ｂ)＋ｎ(Ａｎ∩Ｂ)＝ｎ(Ｂ) から、

　　　　　　　９人＋ｎ(Ａｎ∩Ｂ)＝２５人

　　　　　　　　　　ｎ(Ａｎ∩Ｂ)＝２５人−９人＝１６人

　　　　以上により、

　　　　　　　どちらか一方に行ったことのある生徒

　　　　　　　　　ｎ(Ａ∩Ｂｎ)＋ｎ(Ａｎ∩Ｂ)＝９人＋１６人＝２５人

　　　　　　　どちらにも行ったことのない生徒

　　　　　　　　　ｎ{(Ａ∪Ｂ)ｎ}＝６人





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