平方根の求め方−３　






分   母   の   有   理   化
＜例題＞次の計算をせよ。

　　　　１）　１/２０.５

　　　　２）　１/(１＋２０.５)

　　　　３）　２/３０.５

　　　　４）　(２−２０.５)１/(２＋２０.５)

              解答を書く前に，電卓を持っている君がやりそうな方法で答えを出してみよう。

　　　　１）　１/２０.５＝１/１.４１４＝０.７０７

　　　　２）　１/(１＋２０.５)＝１/(１＋１.４１４)＝１/１.４１４＝０.４１４


  上の解答でも誤りではないが，電卓を持たない者は息切れしそうである。紙と鉛

筆で割り算をする時に，割る数の桁が大きいと大変である。そこで，昔の誰かが次

のように考えたのである。 ｢分母に無理数が無い形に変形しておくと，この割り算

が一段と楽になる」この先人の知恵を拝借して，分母に無理数が無い形にしてから

２０.５ を １.４１４ におきかえてから，答えを出そう。　　　　　　　　　　   


＜解答＞１）　１/２０.５＝{１×２０.５}/{２０.５×２０.５}      分母と分子に ２０.５ を掛ける。

                     ＝２０.５/２

                     ＝１.４１４/２

                     ＝０.７０７


　　　　２）　１/(１＋２０.５)＝{１×(１−２０.５)}/{(１＋２０.５)×(１−２０.５)}      

　　　　　　　　　　　　　　　＝(１−２０.５)/(１−２)

　　　　　　　　　　　　　　　＝(１−２０.５)/(−１)

　　　　　　　　　　　　　　　＝−(１−２０.５)

　　　　　　　　　　　　　　　＝２０.５−１

　　　　　　　　　　　　　　　＝１.４１４−１

　　　　　　　　　　　　　　　＝０.４１４

                       始めに分母と分子に (１−２０.５) を掛ける。２０.５ は駄目ですよ。


　　　　３）　２/３０.５＝２×３０.５/３０.５×３０.５＝２×３０.５/３＝２×１.７３２/３

                       ＝１.１５４


　　　　４）　(２−２０.５)/(２＋２０.５)

　　　　　　　　　　　　＝(２−２０.５)×(２−２０.５)/(２＋２０.５)×(２−２０.５)

　　　　　　　　　　　  ＝(４−２×２×２０.５＋２)/(４−２)＝(６−４×２０.５)/(２)

　　　　　　　　　　　  ＝３−２×２０.５＝３−２×１.４１４＝０.１７２



  １/(１＋２０.５) の分母の有理化の仕方を教えて欲しい。こんな質問がありまし

たので，追加した例題です。お名前が無い質問は後回しにするか，答えないかもねぇ・・。


質問される時には，名前ぐらいは教えて下さいよ。






質         問

  平方根を求めるのに，区間縮小法など様々な方法を高校で習いましたが，その中に開

平法というのがありました。でも，その方法を忘れてしまいました。えらく，複雑な考

え方をして導かれた方法だったと記憶しております。計算の方法のみならずその方法が

生み出された背景についてもう一度振り返りたいので，メールで無理でしたら，何か関

連図書を教えて頂けないでしょうか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


お   答   え

  開平法算の理論的な裏ずけについてのみお答えします。生み出された歴史的な背景等

については，インターネットに答えを求めるより，お近くの図書館へ行かれた方が宜し

いのでは・・・？　私の浅い知識から想像すれば「ピタゴラスの定理がそれを要求した

からではないか」と考えています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


開平法算の理論的な裏ずけについて

 
３１５６ の平方根を求めることにしましょう。 


１０２＝１００，１００２＝１００００

上の計算より，答えが２桁の数であることが分かりますから，

答えを １０ａ＋ｂ としますと，

(１０ａ＋ｂ)２＝３１５６ となり，この式が成立する一桁の数 ａ，ｂ を求めれ

ば良いことになります。    ３１３６＝１００ａ２＋２０ａｂ＋ｂ２

                                 
上の式から，ａ＝５ でなくてはなりません。

３１３６＝１００×５２＋２０×５×ｂ＋ｂ２

  ６３６＝１００×ｂ＋ｂ２　　　　　　　


上の式から，ｂ＝６ でなくてはなりません。

６３６＝１００×６＋６２




  以上が ３１３６ の平方根を求める一つの方法ですが，これは大変に要領が悪い方

法です。「これを工夫して、うまい方法を」考えよう。こんな発想から開平法算が考

えられたと考えてください。つまり，これは開平法算が考えられる以前の方法です。

この方法がお分かりになったら「開平法算」の計算を見てください。そして、両方を

比較してお分かり頂けるのことを期待しています。　　　　　　　　　 　　　　　 

               ５　６　
          -------------
   ５      ）３１３６　
＋ ５        ２５　　　
-----------------------
 １０６        ６３６　
               ６３６　
-----------------------
                   ０　


  開平法算に難しい数学理論は何も有りません。小学生の掛け算や割り算と同レベル

の数学です。これは江戸時代からあったものと思います。　　　　　　　　　　　　





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