例　題　





＜例題＞ｐ が素数のとき、ｎｐ−ｎ は ｐ の倍数であることを示せ。　(フェルマーの小定理)

＜証明＞イ）ｎ＝１ のとき、

　　　　　　ｎｐ−ｎ＝１ｐ−１＝０＝０×ｐ

　　　　　　∴　ｎ＝１ のときに成立する。 

　　　　ロ）ｎ＝ｋ のとき、成立するとすると、

　　　　　　　　ｋｐ−ｋ＝ｍｐ

　　　　　　　　　　ｋｐ＝ｋ＋ｍｐ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

            (１) より、

                (ｋ＋１)ｐ−(ｋ＋１)

　　　　　　　　　　　　＝ｐＣｐｋｐ＋ｐＣｐ−１ｋｐ−１＋・・・＋ｐＣ０ｋ０−ｋ−１

　　　　　　　　　　　　＝ｋｐ＋ｐＣｐ−１ｋｐ−１＋・・・＋ｐＣ１ｋ１＋１−ｋ−１

　　　　　　　　　　　　＝ｋ＋ｍｐ＋ｐＣｐ−１ｋｐ−１＋・・・＋ｐＣ１ｋ１＋１−ｋ−１

　　　　　　　　　　　　＝ｍｐ＋ｐＣｐ−１ｋｐ−１＋・・・＋ｐＣ１ｋ１・・・・・・・・(２）

　　　　　　　　ｐＣｐ−ｉ＝ｐ！/{(ｐ−ｉ)！ｉ！}    　　ｉ＝１，２，３・・・，(ｐ−１)

　　　　　　　　　ｐ は素数で、ｐ−ｉ＜ｐ、ｉ＜ｐ であることより、ｐ！/{(ｐ−ｉ)！ｉ！}

　　　　　　　　　は ｐ で約分が出来ないから、ｐ！/{(ｐ−ｉ)！ｉ！}＝ｐ×ｍｉ が成立す

　　　　　　　　　る自然数 ｍｉ が存在する。

　　　　　　　　　従って、ｐＣｐ−ｉ＝ｐ×ｍｉ が成立する自然数 ｍｉ が存在する。

　　　　　　　　上のこと（２）より、

                (ｋ＋１)ｐ−(ｋ＋１)

　　　　　　　　　　　　＝ｍｐ＋ｐ×ｍｐ−１ｋｐ−１＋・・・＋ｐ×ｍ１ｋ１

　　　　　　　　　　　　＝ｐ(ｍ＋ｍｐ−１ｋｐ−１＋・・・＋ｍ１ｋ１)

　　　　　　　　∴　ｎ＝ｋ＋１ のときも成立する。

　　　　イ)、ロ) から、全ての自然数 ｎ に対して、ｎｐ−ｎ は ｐ の倍数である。





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