今井塾セミナー


           　２項分布 Ｂ(ｎ，ｐ)　





　一回の試行で、事象 Ａ が起こる確率を ｐ，起こらない確率を ｑ とする。ｎ 回の

独立な試行を繰り返すとき、事象 Ａ が起こる回数を確率変数 Ｘ とすると、　　　　


                          二項分布　　　Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝_ｎＣ_ｋｐ^ｋｑ^ｎ－ｋ 

                          期待値　　　　Ｅ(Ｘ)＝ｎｐ　　　　　　　　

                　　　　　　　　　　　　Ｅ(Ｘ^２)＝ｎｐｑ＋ｎ^２ｐ^２ 　

                          分散　　　　　Ｖ(Ｘ)＝ｎｐｑ　　　　　　　

                          標準偏差　　　σ(Ｘ)＝Ｖ(Ｘ)^１/２＝(ｎｐｑ)^１/２






＜例題＞サイコロを投げる試行で、１ の目が出る事象 Ａ とし、２ 回の独立な試行を繰り返す。

　　　　事象 Ａ が起こる回数 (０，１，２) を確率変数 Ｘ とするとき、Ｐ(Ｘ＝０)，

　　　　Ｐ(Ｘ＝１)，Ｐ(Ｘ＝２)，Ｅ(Ｘ)，Ｅ(Ｘ^２)，Ｖ(Ｘ) を求めよ。

＜解答＞　　　Ｐ(Ｘ＝０)＝_２Ｃ_０(１/６)^０(５/６)^２＝(１/６)^０(５/６)^２＝２５/３６

　　　　　　　Ｐ(Ｘ＝１)＝_２Ｃ_１(１/６)^１(５/６)^１＝２(１/６)^１(５/６)^１＝１０/３６

　　　　　　　Ｐ(Ｘ＝２)＝_２Ｃ_２(１/６)^２(５/６)^０＝(１/６)^２(５/６)^０＝１/３６

　　　　　　　Ｅ(Ｘ)＝０×Ｐ(Ｘ＝０)＋１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)

　　　　　　　　　　＝０×(１/６)^０(５/６)^２＋１×２(１/６)^１(５/６)^１

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋２×(１/６)^２(５/６)^０

　　　　　　　　　　＝１×２(１/６)^１(５/６)^１＋２×(１/６)^２(５/６)^０

　　　　　　　　　　＝２(１/６){(５/６)^１＋(１/６)^１}

　　　　　　　　　　＝２(１/６)(５/６＋１/６)

　　　　　　　　　　＝２(１/６)　　　　（ 公式では ｎｐ ）

　　　　　　　　　　＝１/３

＜Ｅ(Ｘ)の別解＞
　　　　１回目、２回目に出る数によって定まる確率変数 Ｘ_１＝{０，１}，Ｘ_２＝{０，１} と

　　　　すると、

　　　　Ｐ(Ｘ_１＝１)＝Ｐ(Ｘ_２＝１)＝１/６、Ｐ(Ｘ_１＝０)＝Ｐ(Ｘ_２＝０)＝５/６

　　　　　　　Ｅ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ_１＋Ｘ_２)＝Ｅ(Ｘ_１)＋Ｅ(Ｘ_２)

　　　　　　　　　　＝(０×５/６＋１×５/６)＋(０×５/６＋１×１/６)

　　　　　　　　　　＝１/６＋１/６

　　　　　　　　　　＝２(１/６)　

　　　　　　　　　　＝１/３　　（教科書では、これがお勧めです）　


＜参　　　考＞
　　　　　Ｅ(Ｘ)＝０×Ｐ(Ｘ＝０)＋１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)

　　　　　　　　＝(０＋０)×(５/６)×(５/６)＋(０＋１)×(５/６)×(１/６)

　　　　　　　　　 　＋(１＋０)×(１/６)×(５/６)＋(１＋１)×(１/６)×(１/６)

　　　　　　　　＝０×(５/６)×{(１/６)＋(５/６)}＋１×(１/６)×{(５/６)＋(１/６)}

　　　　　　　  　　 ＋０×(５/６)×{(５/６)＋(１/６)}＋１×(１/６)×{(５/６)＋(１/６)}

　　　　　　　　＝０×(５/６)×{１}＋１×(１/６)×{１}

                     ＋０×(５/６)×{１}＋１×(１/６)×{１}

　　　　　　　　＝{０×(５/６)＋１×(１/６)}＋{０×(５/６)＋１×(１/６)}

　　　　　　　　＝Ｅ(Ｘ_１)＋Ｅ(Ｘ_２)


　　　　１回目、２回目に１の目が出る事象を Ａ，Ｂ とすると、

　　　　　Ｅ(Ｘ)＝０×Ｐ(Ｘ＝０)＋１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)

　　　　　　　　＝１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)

　　　　　　　　＝１×Ｐ{(Ａ∩Ｂ^ｎ>)∪(Ａ^ｎ∩Ｂ)}＋２×Ｐ(Ａ∩Ｂ)

　　　　　　　　＝Ｐ(Ａ∩Ｂ^ｎ)＋Ｐ(Ａ^ｎ∩Ｂ)＋２×Ｐ(Ａ∩Ｂ)

　　　　　　　　＝{Ｐ(Ａ∩Ｂ^ｎ)＋Ｐ(Ａ∩Ｂ)}＋{Ｐ(Ａ^ｎ∩Ｂ)＋Ｐ(Ａ∩Ｂ)}

　　　　　　　　＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)

　　　　　　　　＝１/６＋１/６　

　　　　　　　　＝２(１/６)

　　　　　　　　　　＝１/３　　　　　　（教科書に無い方法です）　



　　　　　　　Ｅ(Ｘ^２)＝０^２×Ｐ(Ｘ＝０)＋１^２×Ｐ(Ｘ＝１)＋２^２×Ｐ(Ｘ＝２)

　　　　　　　　　　＝１^２×Ｐ(Ｘ＝１)＋２^２×Ｐ(Ｘ＝２)

　　　　　　　　　　＝１^２×２(１/６)^１(５/６)^１＋２^２×(１/６)^２

　　　　　　　　　　＝２(１/６)^１(５/６)^１＋２^２×(１/６)^２　（ 公式では ｎｐｑ＋ｎ^２ｐ^２)

　　　　　　　　　　＝１０/３６＋４/３６

　　　　　　　　　　＝１４/３６

　　　　　　　　　　＝７/１８


 　　　　Ｅ(Ｘ)＝ｍ、Ｐ(Ｘ＝０)＝ｐ_０，Ｐ(Ｘ＝１)＝ｐ_１，Ｐ(Ｘ＝２)＝ｐ_２ とすると、

　　　　　　Ｖ(Ｘ)＝(０－Ｅ(Ｘ))^２×Ｐ(Ｘ＝０)＋(１－Ｅ(Ｘ))^２×Ｐ(Ｘ＝１)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋(２－Ｅ(Ｘ))^２×Ｐ(Ｘ＝２)

　　　　　　　　　＝(０－ｍ)^２×ｐ_０＋(１－ｍ)^２×ｐ_１＋(２－ｍ)^２×ｐ_２＋(３－ｍ)^２×ｐ_３

　　　　　　　　　＝(０^２ｐ_０＋１^２ｐ_１＋２^２ｐ_２)

                                 －２ｍ(０ｐ_０＋１ｐ_１＋２ｐ_２)＋ｍ^２(ｐ_０＋ｐ_１＋ｐ_２）

　　　　　　　　　＝(０^２ｐ_０＋１^２ｐ_１＋２^２ｐ_２)－２ｍ(ｍ)＋ｍ^２(１）

　　　　　　　　　＝(０^２ｐ_０＋１^２ｐ_１＋２^２ｐ_２)－ｍ^２

　　　　　　　　　＝Ｅ(Ｘ^２)－Ｅ(Ｘ)^２

　　　　　　　　　＝１０/３６＋４/３６－(１/３)^２

　　　　　　　　　＝１０/３６　　   　（ 公式では ｎｐｑ ）

　　　　　　　　　＝５/１８
　　





＜例題＞サイコロを投げる試行で、１ の目が出る事象 Ａ とし、ｎ 回の独立な試行を繰り返す。

　　　　事象 Ａ が起こる回数 (０，１，２，・・・，ｒ) を確率変数 Ｘ とするとき、

　　　　Ｐ(Ｘ＝ｒ)，Ｅ(Ｘ)，Ｅ(Ｘ^２)，Ｖ(Ｘ) を求めよ。

＜解答＞ｋ回目のサイコロ目によって定まる確率変数を

　　　　Ｘ_ｋ＝{０，１} とすると、Ｐ(Ｘ_ｋ＝０)＝５/６，Ｐ(Ｘ_ｋ＝１)＝１/６

　　　　　　　Ｅ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ_１＋Ｘ_２＋・・・＋Ｘ_ｎ)

　　　　　　　　　　＝Ｅ(Ｘ_１)＋Ｅ(Ｘ_２)＋・・・＋Ｅ(Ｘ_ｎ)

　　　　　　　　　　＝ｎＥ(Ｘ_１)

　　　　　　　　　　＝ｎ{０×(５/６)＋１×(１/６)}

　　　　　　　　　　＝ｎ/６

＜Ｅ(Ｘ)の別解＞
　　　　　　　Ｅ(Ｘ)＝０×Ｐ(Ｘ＝０)＋１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)＋・・・

                                                               ＋ｎ×Ｐ(Ｘ＝ｎ)

　　　　　　　　　　＝１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)＋・・・＋ｎ×Ｐ(Ｘ＝ｎ)

　　　　　　　　　　＝１×_ｎＣ_１ｐ^１ｑ^ｎ－１＋・・・＋ｎ×_ｎＣ_ｎｐ^ｎｑ^ｎ－ｎ

　　　　　　　　　　＝ｎｐ{_ｎ－１Ｃ_０ｐ^０ｑ^ｎ－１＋・・・＋_ｎ－１Ｃ_ｎ－１ｐ^ｎ－１ｑ^０}

　　　　　　　　　　＝ｎｐ(ｐ＋ｑ)^ｎ－１

　　　　　　　　　　＝ｎｐ


　　　　　　１ の目が出る確率 １/６ を ｐ，１ の目が出ない確率 ５/６ を ｑ とすると、

                     ｐ＋ｑ＝１

　　　　　　Ｐ(Ｘ＝ｒ)＝_ｎＣ_ｒｐ^ｒｑ^ｎ－ｒ＝_ｎＣ_ｒ(１/６)^ｒ(５/６)^ｎ－ｒ

　　　　　　ｒ回目に１が出る事象を Ａ_ｒ とすると、

　　　　　　Ｅ(Ｘ)＝０×Ｐ(Ｘ＝０)＋１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)＋・・・

                                                             ＋ｎ×Ｐ(Ｘ＝ｎ)

　　　　　　　　　＝１×Ｐ(Ｘ＝１)＋２×Ｐ(Ｘ＝２)＋・・・＋ｎ×Ｐ(Ｘ＝ｎ)

　　　　　　　　　＝１×Ｐ{(Ａ_１∩Ａ_２^ｎ∩Ａ_３^ｎ∩・・

                                  ∩Ａ_ｎ^ｎ)∪・・∪(Ａ_１^ｎ∩Ａ_２^ｎ∩Ａ_３^ｎ∩・・∩Ａ_３)}

　　　　　　　　　　　＋２×Ｐ{(Ａ_１∩Ａ_２∩Ａ_３^ｎ∩・・∩Ａ_ｎ^ｎ)∪・・

                                      ∪(Ａ_１^ｎ∩Ａ_２^ｎ∩Ａ_３∩・・∩Ａ_３)}

　　　　　　　　　　　　　＋・・・・

　　　　　　　　　　　　　　　＋ｎ×Ｐ{(Ａ_１∩Ａ_２∩Ａ_３∩・・・∩Ａ_ｎ}

　　　　　　　　　＝Ｐ(Ａ_１)＋Ｐ(Ａ_２)＋・・・＋Ｐ(Ａ_ｎ)

　　　　　　　　　＝ｐ＋ｐ＋・・・＋ｐ

　　　　　　　　　＝ｎｐ

　　　　　　　　　＝ｎ(１/６)

　　　　　　　　　＝ｎ/６


　　　　　Ｅ(Ｘ^２)＝０^２×Ｐ(Ｘ＝０)＋１^２×Ｐ(Ｘ＝１)＋２^２×Ｐ(Ｘ＝２)＋・・・

                                       ＋ｎ^２×Ｐ(Ｘ＝ｎ)

　　　　　　　　　＝１^２×Ｐ(Ｘ＝１)＋２^２×Ｐ(Ｘ＝２)＋・・・＋ｎ^２×Ｐ(Ｘ＝ｎ)

　　　　　　　　　＝１^２×_ｎＣ_１ｐ^１ｑ^ｎ－１＋・・・

                                  ＋ｎ^２_ｎＣ_ｎｐ^ｎｑ^ｎ－ｎ

　　　　　　　　　＝{１^２－１＋１}×_ｎＣ_１ｐ^１ｑ^ｎ－１＋・・・

                                  ＋{ｎ^２－ｎ＋ｎ}_ｎＣ_ｎｐ^ｎｑ^ｎ－ｎ

　　　　　　　　　＝{１(１－１)}×_ｎＣ_１ｐ^１ｑ^ｎ－１＋・・・＋{ｎ(ｎ－１)}_ｎＣ_ｎｐ^ｎｑ^ｎ－ｎ

　　　　　　　　　　　　　　　　　＋{１}×_ｎＣ_１ｐ^１ｑ^ｎ－１＋・・・＋{ｎ}_ｎＣ_ｎｐ^ｎｑ^ｎ－ｎ

　　　　　　　　　＝{２(２－１)}×_ｎＣ_２ｐ^２ｑ^ｎ－２＋・・・

                                  ＋{ｎ(ｎ－１)}_ｎＣ_ｎｐ^ｎｑ^ｎ－ｎ＋Ｅ(Ｘ)

　　　　　　　　　＝ｎ(ｎ－１)ｐ^２(_ｎ－２Ｃ_０ｐ^０ｑ^ｎ－２＋・・・

                                  ＋_ｎ－２Ｃ_ｎ－２ｐ^ｎ－２ｑ^０)＋ｎｐ

　　　　　　　　　＝ｎ(ｎ－１)ｐ^２(ｐ＋ｑ)^ｎ－２＋ｎｐ

　　　　　　　　　＝ｎ(ｎ－１)ｐ^２＋ｎｐ

　　　　　　　　　＝ｎｐ(１－ｐ)＋ｎ^２ｐ^２

　　　　　　　　　＝ｎｐｑ＋ｎ^２ｐ^２

　　　　　　　　　＝ｎ(１/６)(５/６)＋ｎ^２(１/６)^２


 　　　　Ｅ(Ｘ)＝ｍ、Ｐ(Ｘ＝ｉ)＝ｐ_ｉ とすると、

　　　　　　Ｖ(Ｘ)＝(０－Ｅ(Ｘ))^２×Ｐ(Ｘ＝０)＋・・・＋(ｎ－Ｅ(Ｘ))^２×Ｐ(Ｘ＝ｎ)

　　　　　　　　　＝(０－ｍ)^２×ｐ_ｎ＋(１－ｍ)^２×ｐ_１＋(２－ｍ)^２×ｐ_２＋・・・

                                    ＋(ｎ－ｍ)^２×ｐ_ｎ

　　　　　　　　　＝(０^２ｐ_０＋１^２ｐ_１＋２^２ｐ_２＋・・・＋ｎ^２ｐ_ｎ)

　　　　　　　　　　　  　　　－２ｍ(０ｐ_０＋１ｐ_１＋２ｐ_２＋・・・＋ｎｐ_ｎ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　＋ｍ^２(ｐ_０＋ｐ_１＋ｐ_２＋・・・＋ｐ_ｎ）

　　　　　　　　　＝(０^２ｐ_０＋１^２ｐ_１＋２^２ｐ_２＋・・・＋ｎ^２ｐ_ｎ)－２ｍ(ｍ)＋ｍ^２(１）

　　　　　　　　　＝(０^２ｐ_０＋１^２ｐ_１＋２^２ｐ_２＋・・・＋ｎ^２ｐ_ｎ)－ｍ^２

　　　　　　　　　＝Ｅ(Ｘ^２)－Ｅ(Ｘ)^２

　　　　　　　　　＝(ｎｐｑ＋ｎ^２ｐ^２)－(ｎｐ)^２

　　　　　　　　　＝ｎｐｑ

　　　　　　　　　＝ｎ(１/６)(５/６)

　　　　　　　　　＝５ｎ/３６

　　　



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