<例題>1つのサイコロを4回投げるとき、6の目が2回出る確率を求めよ。
<解答>1つのサイコロの4回投げるとき、全ての目が出方を要素とする集合を U とすると、
n(U)=64
1,2回目に6が出て、残りが6がでない目が出方を要素とする集合を A1,2
n(A1,2)=52
1,3回目に6が出て、残りが6がでない目が出方を要素とする集合を A1,3
n(A1,3)=52
1,4回目に6が出て、残りが6がでない目が出方を要素とする集合を A1,4
n(A1,4)=52
2,3回目に6が出て、残りが6がでない目が出方を要素とする集合を A2,3
n(A2,3)=52
2,4回目に6が出て、残りが6がでない目が出方を要素とする集合を A2,4
n(A2,4)=52
3,3、4回目に6が出て、残りが6がでない目が出方を要素とする集合を A3,4
n(A3,4)=52
6の目が2回出る目が出方を要素とする集合は、
A1,2∪A1,3∪A1,4∪A2,3∪A2,4∪A3,4
n(A1,2∪A1,3∪A1,4∪A2,3∪A2,4∪A3,4)
=n(A1,2)+n(A1,3)
+n(A1,4)+n(A2,3)
+n(A2,4)+n(A3,4)
=52+52+52+52+52+52
=6×52
求める確率を p とすると、
p=n(A1,2∪A1,3∪A1,4∪A2,3∪A2,4∪A3,4)÷n(U)
=6×52÷64=25/216
この解法は高校入試レベルの解法です。確率の公式を使わないで、単純に数える?
<別解>1つのサイコロの4回投げるとき、n回目に1の目が出る要素とする集合を An とし、
求める確率を p とすると、
p=P(A1n∩A2n∩A3∩A4)
+P(A1n∩A2∩A3n∩A4)
+P(A1n∩A2∩A3∩A4n)
+P(A1∩A2n∩A3n∩A4)
+P(A1∩A2n∩A3∩A4n)
+P(A1∩A2∩A3n∩A4n)
=(5/6)(5/6)(1/6)(1/6)
+(5/6)(1/6)(5/6)(1/6)
+(5/6)(1/6)(1/6)(5/6)
+(1/6)(5/6)(5/6)(1/6)
+(1/6)(5/6)(1/6)(5/6)
+(1/6)(1/6)(5/6)(5/6)
=4C2(5/6)(5/6)(1/6)(1/6)
=6×(5/6)(5/6)(1/6)(1/6)
=25/216
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