指数が実数から複ベクトル(複素数)へと進化するとき、かなり変貌します。ここでダ
ウンする人が多数おい出になることが十分予想出来ます。そこで複ベクトル(複素数)で
使われる指数の定義を実数に使って練習をしましょう。勿論、これは普通の数学にはあ
りません。皆さんが複ベクトルの指数に進むのを可能のするために用意をしたものに過
ぎないからです。
複ベクトル(複素数)で (ａ，ｂ)(ｙ，ｙ) は何と定義すべきか？ オイラーが我々凡
人のことを考慮して、ここらあたりから切り込んでくれれば、自然数、整数、有理数、
実数の流れの中に複ベクトルの指数があり、我々にとって理解しやすかったのですがね
ぇ・・・。
オイラーが ｅｉθ＝cosθ＋ｉsinθ を指数の突破口としたために、複ベクトルの指
数の定義がこれまでの流れと断ち切てになってしまいました。実は複素関数論の本に書
いてある指数の定義をよく理解出来ませんでした。そこで仕方がなく自力で考えること
にしました。多分実質的に同じだろうと想像しています。
その定義は相当に遠回りとなりました。 先ず、微分方程式で exp(ｘ) を定義し、そ
の逆関数として log(ｙ) を定義し、 これを使って指数を定義しています。 実数では
exp(ｘ) を定義をする必要がなかったのですが、これを複ベクトルへと進めるのに、こ
うせざるを得ませんでした。その訳は、実数では指数の定義があるのに対して、複ベク
トルには指数の定義が無いからです。これを複ベクトルでいきなり「理解しなさいよ」
と要求する方がちょっと無理がありそうです。 そこで 「先ずは実数で練習をして下さ
い」こんな意味でこのページを作りました。
実はそのつもりは無かったのですが、出来上がったものを眺めてみると、思いがけな
い付録がついていました。「思いがけない・・・」と言うよりは「当たり前・・・」と
言うべきなのでしょうが、この定義から有理数、整数、自然数の定義がきれいに証明さ
れます。従って、このページに掲載してあることは「対数と指数の要の位置にある」と
言えるでしょう。高校生はこのページを知る必要がありませんが、大学生になったらこ
のページを出発点にして、有理数、整数、自然数にバックしたり、あるいはこのページ
を作った狙い通りに、複ベクトル、行列へ進めたりしてください。
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