自然数の指数　





＜定義−１＞任意の自然数 ｎ に対して、次の １)、２）が成立する関数 ｈ(ａ，ｎ) によって

　　　　　　定まる数を ａｎ と書く。( ａ は自然数でなくても良い ）

　　　　１）　ｈ(ａ，□)＝１

　　　　２）　ｈ{ａ，φ(ｎ)}＝ａ×ｈ(ａ，ｎ)



＜定理−１＞ａ□＝１、　□□＝１、　０□＝１、　ａ１＝ａ

＜証明＞定義−１ から，ａ□＝ｈ(ａ，□)＝１

　　　　定義−１ から，□□＝ｈ(□，□)＝１　　　（注意：００ は未定義です）　　

　　　　定義−１ から，０□＝ｈ(０，□)＝１

　　　　定義−１ から，ａ１＝ｈ(ａ，１)＝ｈ(ａ，φ(□))＝ｈ(ａ，□)×ａ＝１×ａ＝ａ



＜例題＞３２、３４ を計算しなさい。

＜解答＞　　　３２＝ｈ(３，２)

　　　　　　　　　＝ｈ{３，φ(１)}

　　　　　　　　　＝３×ｈ(３，１)

　　　　　　　　　＝３×ｈ(３，φ(□))

　　　　　　　　　＝３×３×ｈ(３，□)

　　　　　　　　　＝３×３×１

　　　　　　　　　＝９


        　　　３４＝ｈ(３，４)

　　　　　　　　　＝ｈ{３，φ(３)}

　　　　　　　　　＝３×ｈ(３，３)

　　　　　　　　　＝３×ｈ{３，φ(２)}

　　　　　　　　　＝３×３×ｈ(３，２)

　　　　　　　　　＝３×３×ｈ{３，φ(１)}

　　　　　　　　　＝３×３×３×ｈ(３，１)

　　　　　　　　　＝３×３×３×ｈ(３，φ(□))

　　　　　　　　　＝３×３×３×３×ｈ(３，□)

　　　　　　　　　＝３×３×３×３×１

　　　　　　　　　＝８１


＜定理−２＞  

　　　　１）  ａｍ×ａｎ＝ａｍ＋ｎ

　　　　２）  ｍ＞ｎ のとき，ａｍ÷ａｎ＝ａｍ−ｎ  

＜証明＞１）を示す。

　　　　　　イ）ｍ＝□，ｎ＝□ のとき、

　　　　　　　　　　ａ□×ａ□＝ｈ(ａ，□)×ｈ(ａ，□)＝１×１＝１

　　　　　　　　　　ａ□＋□＝ａ□＝ｈ(ａ，□)＝１

　　　　　　　　上の式より、ａ□×ａ□＝ａ□＋□

　　　　　　ロ）ｍ＝ｉ，ｎ＝ｊ のとき成立するとする。

　　　　　　　　　　ａｉ×ａｊ＝ａｉ＋ｊ　･･･････････････････････････････････　　(１)

　　　　　　　　(１）より、ａφ(ｉ)×ａｊ＝ｈ(ａ，φ(ｉ))×ｈ(ａ，ｊ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ｈ(ａ，ｉ)×ｈ(ａ，ｊ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ａｉ×ａｊ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ａｉ＋ｊ

　                         　ａφ(ｉ)＋ｊ＝ｈ(ａ，φ(ｉ)＋ｊ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｈ{ａ，φ(ｉ＋ｊ)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ｈ(ａ，ｉ＋ｊ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ａｉ＋ｊ

　　　　　　　　上の式より、ａφ(ｉ)×ａｊ＝ａφ(ｉ)＋ｊ

　　　　　　　　同様にして、ａｉ×ａφ(ｊ)＝ａｉ＋φ(ｊ)

　　　　　　イ）、ロ）より、ａｍ×ａｎ＝ａｍ＋ｎ

　　　　２）を示す。

　　　　　　イ）ｍ＝１，ｎ＝□ のとき、

　　　　　　　　　　ａ１÷ａ□＝ｈ(ａ，１)÷ｈ(ａ，□)＝ｈ(ａ，□)×ａ÷ｈ(ａ，□)＝ａ

　　　　　　　　　　ａ１−□＝ａ１＝ｈ(ａ，１)＝ｈ(ａ，□)×ａ＝１×ａ＝ａ

　　　　　　　　上の式より、ａ１÷ａ□＝ａ１−□

　　　　　　ロ）ｍ＝ｉ，ｎ＝ｊ のとき成立するとする。

　　　　　　　　　　　ａｉ÷ａｊ＝ａｉ−ｊ　･････････････････････････････････　　(２)

　　　　　　　　(２）より、ａφ(ｉ)÷ａｊ＝ｈ{ａ，φ(ｉ)}÷ｈ(ａ，ｊ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ｈ(ａ，ｉ)÷ｈ(ａ，ｊ)

           　　　　　　　　　　     ＝ａ×ａｉ÷ａｊ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ａｉ−ｊ

　　　　　　　　　　　　　　ａφ(ｉ)−ｊ＝ｈ{ａ，φ(ｉ−ｊ)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ｈ(ａ，ｉ−ｊ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ×ａｉ−ｊ

　　　　　　　　上の式より、ａφ(ｉ)÷ａｊ＝ａφ(ｉ)−ｊ

　　　　　　　　同様にして、ａｉ÷ａφ(ｊ)＝ａｉ−φ(ｊ)

　　　　　　イ）、ロ）より、ａｍ÷ａｎ＝ａｍ−ｎ


＜定理−３＞

　　　　１）　ａｍ×ｂｍ＝(ａ×ｂ)ｍ

　　　　２）　ａｍ÷ｂｍ＝(ａ÷ｂ)ｍ

＜証明＞１）を示す。

　　　　　　イ）ｍ＝□ のとき、

　　　　　　　　　　ａ□×ｂ□＝ｈ(ａ，□)×ｈ(ｂ，□)＝１×１＝１

　　　　　　　　　　(ａ×ｂ)□＝ｈ(ａ×ｂ，□)＝１

　　　　　　　　上の式より、ａ□×ｂ□＝(ａ×ｂ)□

　　　　　　ロ）ｍ＝ｉ のとき成立するとする。

　                　ａｉ×ｂｉ＝(ａ×ｂ)ｉ　････････････････････････････････　　(１)

　　　　　　　　(１）より、ａφ(ｉ)×ｂφ(ｉ)＝ｈ{(ａ，φ(ｉ)}×ｈ{ｂ，φ(ｉ)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｈ(ａ，ｉ)×ａ×ｈ(ｂ，ｉ)×ｂ

           　　　　　　　　　　　　　     ＝ａｉ×ｂｉ×ａ×ｂ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ａ×ｂ)ｉ×(ａ×ｂ)

　                      (ａ×ｂ)φ(ｉ)＝ｈ{ａ×ｂ，φ(ｉ)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｈ(ａ×ｂ，ｉ)×(ａ×ｂ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ａ×ｂ)ｉ×(ａ×ｂ)

　　　　　　　　上の式より、ａφ(ｉ)×ｂφ(ｉ)＝(ａ×ｂ)φ(ｉ)

　　　　　　イ)、ロ）より、ａｍ×ｂｍ＝(ａ×ｂ)ｍ

　　　　２）を示す。

　　　　　　イ）ｍ＝□ のとき、

　　　　　　　　　　ａ□÷ｂ□＝ｈ(ａ，□)÷ｈ(ｂ，□)＝１÷１＝１

　　　　　　　　　　(ａ÷ｂ)□＝ｈ(ａ÷ｂ，□)＝１

　　　　　　　　上の式より、ａ□÷ｂ□＝(ａ÷ｂ)□

　　　　　　ロ）ｍ＝ｉ のとき成立するとする。

　　　　　　　　　　ａｉ÷ｂｉ＝(ａ÷ｂ)ｉ　･････････････････････････････････　　(２)

　　　　　　　　(２）より、ａφ(ｉ)÷ｂφ(ｉ)＝ｈ(ａ，φ(ｉ))÷ｈ(ｂ，φ(ｉ))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝{ｈ(ａ，ｉ)×ａ}÷{ｈ(ｂ，ｉ)×ｂ}

           　　　　　　　　　　　　　     ＝(ａｉ÷ｂｉ)×(ａ÷ｂ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ａ÷ｂ)ｉ×(ａ÷ｂ)

　　　　　　　　　　　　　　　(ａ÷ｂ)φ(ｉ)＝ｈ(ａ÷ｂ，φ(ｉ))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｈ(ａ÷ｂ，ｉ)×(ａ÷ｂ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ａ÷ｂ)ｉ×(ａ÷ｂ)

　　　　　　　上の式より、ａφ(ｉ)÷ｂφ(ｉ)＝(ａ÷ｂ)φ(ｉ)

　　　　　　イ)、ロ）より、ａｍ÷ｂｍ＝(ａ÷ｂ)ｍ



＜定理−４＞(ａｍ)ｎ＝ａｍ×ｎ

＜証明＞イ）ｍ＝□，ｎ＝□ のとき、

                  (ａ□)□＝ｈ(ａ□，□)＝１

　　　　　　　　　ａ□×□＝ａ□＝ｈ(ａ，□)＝１

　　　　　　上の式より、(ａ□)□＝ａ□×□

　　　　ロ）ｍ＝ｉ，ｎ＝ｊ のとき成立するとする。

　                (ａｉ)ｊ＝ａｉ×ｊ　･･････････････････････････････････････　　(１)

　　　　　　(１）より、(ａφ(ｉ))ｊ＝ｈ(ａφ(ｉ)，ｊ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｈ(ａｉ×ａ，ｊ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ａｉ×ａ)ｊ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａｊ×(ａｉ)ｊ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａｊ×ａｉ×ｊ

                          ａφ(ｉ)×ｊ＝ａｉ×ｊ＋ｊ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａｉ×ｊ×ａｊ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａｊ×ａｉ×ｊ

　　　　　　上の式より、(ａφ(ｉ))ｊ＝ａφ(ｉ)×ｊ

　　　　　　(１）より、(ａｉ)φ(ｊ)＝ｈ{ａｉ，φ(ｊ)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｈ(ａｉ，ｊ)×ａｉ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ａｉ)ｊ×ａｉ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａｉ×ｊ×ａｉ

                          ａｉ×φ(ｊ)＝ａｉ×ｊ＋ｉ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａｉ×ｊ×ａｉ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａｉ×ｊ×ａｉ

　　　　　　上の式より、(ａｉ)φ(ｊ)＝ａｉ×φ(ｊ)

　　　　イ)、ロ）より、（ａｍ)ｎ＝ａｍ×ｎ



＜定理−５＞  

　　　　１）  ０＜ａ＜１  ⇔   ０＜ａｍ＜１

　　　　２）  １＜ａ      ⇔   １＜ａｍ

＜証明＞１）を示す。   

　　　　　　イ）ｍ＝１ のとき、

　　　　　　　　条件から、０＜ａ＜１

　　　　　　　　　　　　　ａ１＝ｈ(ａ，１)＝ａ

　　　　　　　　上の式より、０＜ａ１＜１

　　　　　　ロ）ｍ＝ｉ のとき成立するとする。

　　　　　　　　　　　　　０＜ａｉ＜１　････････････････････････････････････　　(１)

　　　　　　　　(１）より、ａφ(ｉ)＝ｈ{ａ，φ(ｉ)}＝ｈ(ａ，ｉ)×ａ＝ａｉ×ａ

　　　　　　　　条件と（１）から、０＜ａｉ×ａ＜１

　　　　　　　　　　　　　　　　　０＜ａφ(ｉ)＜１

　　　　　　イ)、ロ）より、０＜ａｍ＜１

　　　　２）を示す。   

　　　　　　イ）ｍ＝１ のとき、

　　　　　　　　条件から、１＜ａ

　　　　　　　　　　　　ａ１＝ｈ(ａ，１)＝ａ

　　　　　　　　上の式より、１＜ａ１

　　　　　　ロ）ｍ＝ｉ のとき成立するとする。

　　　　　　　　　　　１＜ａｉ　････････････････････････････････････････････　　(２)

　　　　　　　　(２）より、ａφ(ｉ)＝ｈ{ａ，φ(ｉ)}＝ｈ(ａ，ｉ)×ａ＝ａｉ×ａ

　　　　　　　　条件と（１）から、１＜ａｉ×ａ

　　　　　　　　　　　　　　　　　１＜ａφ(ｉ)

　　　　　　イ)、ロ）より、０＜ａｍ＜１



＜定理−６＞  

　　　　１）  ０＜ａ＜１，ｍ＜ｎ  ⇒   ａｎ＜ａｍ

　　　　２）  １＜ａ，ｍ＜ｎ      ⇒   ａｍ＜ａｎ

＜証明＞１）を示す。

　　　　　　　　　ａｍ−ａｎ＝ａｍ−ａｍ＋ｋ＝ａｍ(１−ａｋ)＞０

　　　　　　∴　　ａｎ＜ａｍ

　　　　２）を示す。

　　　　　　　　　ａｍ−ａｎ＝ａｍ−ａｍ＋ｋ＝ａｍ(１−ａｋ)＜０

　　　　　　∴　　ａｍ＜ａｎ





ここをクリックして，誤り，ご意見，ご質問を送って下ださい。