大学生でも数学課の学生でないと理解してもらえないかも･･･？
注 意
整数のブロックを見てから，ここを読んで下さい。
整数の指数の定理を証明をするのに、自然数の指数の定理を使います。
＜定義−１＞ａ(ｍ，ｎ)＝ａｍ/ａｎ 但し、ａ≠０，(ｍ，ｎ)∈Ｚ
(ａ≠０ の但し書きがあるから、００ は未定義で、０□＝１ です）
これはよそ様のＨＰです。このリンク先の方に賛成している訳ではありません。
皆さんのご参考のためです。
「この定義は・・・にある。そこからのパクリだろう」と思われる方は、どうぞそ
う思われて、そのような評価をなさって下さい。そして、その情報を是非お知らせ
下さるようお願い致します。これはどこかの数学の書籍に必ずあります。
＜定理−１＞
１） ａ０＝１
２） ａ１＝ａ
３） ａ−ｋ＝１÷ａｋ
＜証明＞１）を示す。
ａ０＝ａ(ｋ，ｋ)＝ａｋ/ａｋ＝１
この証明で ａ０＝１ が本当に分かった気がしました。
高校生向け整数の指数は ａ０＝１ を証明するために ａｉ＝１×ａ×ａ×････×ａ
を用意をしている感じ。「感じ」でなく，本当にそうなのです。実はこの定義を考え
たのは私で、作った当人が素直にそれを認めます。ここでは「インチキ、詭弁、こん
な非難に黙って耐えねばなるまい」と観念していました。これは本格的な整数を使う
前に考えた、要するに一時凌ぎの定義でした。こんな詰まらんものを私はパクリはし
ません。ここにある定義なら、これはパクルに値します。パクリ先をお探しになられ
たら、きっとみつかるでしょう。落ちこぼれの大学教授の書いた本には多分ないでし
ょうが、これまでの数学にこの定義がなかったと皆さんは考えられますか？ 私には
とても考えられません。
２）を示す。
ａ１＝ａ(ｋ＋１，ｋ)＝ａｋ＋１/ａｋ＝ａ
３）を示す。
ｎ−ｍ＝ｋ とすると，
ａ−ｋ＝ａ(ｍ，ｎ)＝ａｍ/ａｎ＝１/ａｎ−ｍ＝１÷ａｋ
この証明で ａ−ｋ＝１÷ａｋ も本当に分かった気がしました。
＜定理−２＞
１） ａｉ×ａｊ＝ａｉ＋ｊ
２） ａｉ÷ａｊ＝ａｉ−ｊ
＜証明＞ｉ＝(ｋ，ｌ)，ｊ＝(ｍ，ｎ) とおく。
１）を示す。
ａｉ×ａｊ＝ａ(ｋ,ｌ)×ａ(ｍ，ｎ)
＝ａｋ/ａｌ×ａｍ/ａｎ
＝(ａｋ×ａｍ)/(ａｌ×ａｎ)
＝ａｋ＋ｍ/ａｌ＋ｎ ∵ ｋ，ｌ，ｍ，ｎ は自然数
＝ａ(ｋ＋ｍ，ｌ＋ｎ)
＝ａ(ｋ,ｌ)＋(ｍ，ｎ)
＝ａｉ＋ｊ
２）を示す。
ａｉ÷ａｊ＝ａ(ｋ,ｌ)÷ａ(ｍ，ｎ)
＝ａｋ/ａｌ÷ａｍ/ａｎ
＝(ａｋ×ａｎ)/(ａｌ×ａｍ)
＝ａｋ＋ｎ/ａｌ＋ｍ ∵ ｋ，ｌ，ｍ，ｎ は自然数
＝ａ(ｋ＋ｎ，ｌ＋ｍ)
＝ａ(ｋ,ｌ)−(ｍ，ｎ) この変形は整数のページを見てください。
＝ａｉ−ｊ
＜定理−３＞
１） ａｉ×ｂｉ＝(ａ×ｂ)ｉ
２） ａｉ÷ｂｉ＝(ａ÷ｂ)ｉ
＜証明＞ｉ＝(ｍ，ｎ) とおく。
１）を示す。
ａｉ×ｂｉ＝ａ(ｍ，ｎ)×ｂ(ｍ，ｎ)
＝(ａｍ/ａｎ)×(ｂｍ/ｂｎ)
＝ａｍｂｍ/ａｎｂｎ
＝(ａｂ)ｍ/(ａｂ)ｎ ∵ ｍ，ｎ は自然数
＝(ａｂ)(ｍ，ｎ)
＝(ａ×ｂ)ｉ
２）を示す。
ａｉ÷ｂｉ＝ａ(ｍ，ｎ)÷ｂ(ｍ，ｎ)
＝(ａｍ/ａｎ)÷(ｂｍ/ｂｎ)
＝(ａｍ÷ｂｍ)/(ａｎ÷ｂｎ)
＝(ａ÷ｂ)ｍ/(ａ÷ｂ)ｎ ∵ ｍ，ｎ は自然数
＝(ａ÷ｂ)(ｍ，ｎ)
＝(ａ÷ｂ)ｉ
＜定理−４＞(ａｉ)ｊ＝ａｉｊ
＜証明＞ｉ＝(ｋ，ｌ)，ｊ＝(ｍ，ｎ) とおく。
(ａｉ)ｊ＝{ａ(ｋ，ｌ)}(ｍ，ｎ)
＝(ａｋ/ａｌ)(ｍ，ｎ)
＝(ａｋ/ａｌ)ｍ÷(ａｋ/ａｌ)ｎ
＝(ａｋｍ/ａｌｍ)÷(ａｋｎ/ａｌｎ) ∵ ｋ，ｌ，ｍ，ｎ は自然数
＝ａｋｍ＋ｌｎ/ａｌｍ＋ｋｎ
＝ａ(ｋｍ＋ｌｎ，ｌｍ＋ｋｎ)
＝ａ(ｋｍ＋ｌｎ，ｋｎ＋ｌｍ)
＝ａ(ｋ，ｌ)×(ｍ，ｎ) この変形は整数のページを見てください。
＝ａｉｊ
定理−５ ０＜ｉ のとき，
１） ０＜ａ＜１ ⇒ ０＜ａｉ＜１
２） ａ＝１ ⇒ ａｉ＝１
３） １＜ａ ⇒ １＜ａｉ
４） ０＜ａ＜１ ⇒ １＜ａ−ｉ
５） ａ＝１ ⇒ ａ−ｉ＝１
６） １＜ａ ⇒ ０＜ａ−ｉ＜１
[証] ｉ＝(ｍ，ｎ) とおくと，０＜ｉ より，ｎ＜ｍ
１）を示す。
条件から，０＜ａ＜１
０＜ａｍ＜１， ０＜ａｎ＜１， ａｍ＜ａｎ
上の式より，０＜ａｍ/ａｎ＜１
０＜ａ(ｍ，ｎ)＜１
０＜ａｉ＜１
２）を示す。
条件から，ａ＝１
ａｍ＝１，ａｎ＝１
上の式より，ａｍ/ａｎ＝１
ａ(ｍ，ｎ)＝１
ａｉ＝１
３）を示す。
条件から，１＜ａ
１＜ａｍ，１＜ａｎ， ａｎ＜ａｍ
上の式より，１＜ａｍ/ａｎ
１＜ａ(ｍ，ｎ)
１＜ａｉ
４）を示す。
条件から，０＜ａ＜１
０＜ａｍ＜１， ０＜ａｎ＜１， ａｍ＜ａｎ
上の式より，１＜ａｎ/ａｍ
１＜ａ(ｎ，ｍ)
１＜ａ−ｉ
５）を示す。
条件から，ａ＝１
ａｍ＝１，ａｎ＝１
上の式より，ａｎ/ａｍ＝１
ａ(ｎ，ｍ)＝１
ａ−ｉ＝１
６）を示す。
条件から，１＜ａ
１＜ａｍ，１＜ａｎ， ａｎ＜ａｍ
上の式より，０＜ａｎ/ａｍ＜１
０＜ａ(ｎ，ｍ)＜１
０＜ａ−ｉ＜１
ページを拝見しましたが「大学生向けの」というのは、
ごく普通の指数の定義に見えます。
「ごく普通の指数の定義に見えます」この感じは実に的を得ています。自然数を使っ
ているときに「証明は出来ないが、どうやらこうらしいなぁ・・・」 と予想していた
ことが、そのままそっくり証明になっています。 これは「指数が自然数から整数へと
前進させるとき考えられたものを裏付けるには、 何と大学生用の本格的な整数を使わ
ねば出来なかった」ということを意味しています。 これでもって「痒いところによう
やく手が届いたなぁ・・・」と受け取ってもらえれば幸いです。
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