＜定義−１＞
１）ｎ が偶数のとき，
方程式 ｘｎ−ａｍ＝０ の正の実数解を ａｍ/ｎ とかく。
方程式 ｘｎ−ａｍ＝０ の負の実数解を −ａｍ/ｎ とかく。
２）ｎ が奇数のとき，
方程式 ｘｎ−ａｍ＝０ の実数解を ａｍ/ｎ とかく。 但し、ｍ，ｎ は整数
＜定理−１＞(ａｍ/ｎ)ｎ＝ａｍ
＜証明＞ａｍ/ｎ は方程式 ｘｎ−ａｍ＝０ の解であるから，
(ａｍ/ｎ)ｎ−ａｍ＝０
(ａｍ/ｎ)ｎ＝ａｍ
＜定理−２＞
１） ａｋ/ｌ×ａｍ/ｎ＝ａｋ/ｌ＋ｍ/ｎ
２） ａｋ/ｌ÷ａｍ/ｎ＝ａｋ/ｌ−ｍ/ｎ
＜証明＞定理−１ から，
(ａｋ/ｌ)ｌ＝ａｋ ･････････････････････････････････････ (１)
(ａｍ/ｎ)ｎ＝ａｍ ･････････････････････････････････････ (２)
１）を示す。
(１)ｎ×(２)ｌ
(ａｋ/ｌ)ｌｎ×(ａｍ/ｎ)ｎｌ＝ａｋｎ×ａｍｌ
(ａｋ/ｌ×ａｍ/ｎ)ｌｎ＝ａｋｎ＋ｍｌ ∵ ｋ，ｌ，ｍ，ｎ は整数
ａｋ/ｌ×ａｍ/ｎ＝ａｋ/ｌ＋ｍ/ｎ
２）を示す。
(１)ｎ÷(２)ｌ
(ａｋ/ｌ)ｌｎ÷(ａｍ/ｎ)ｎｌ＝ａｋｎ÷ａｍｌ
(ａｋ/ｌ÷ａｍ/ｎ)ｌｎ＝ａｋｎ−ｍｌ ∵ ｋ，ｌ，ｍ，ｎ は整数
ａｋ/ｌ÷ａｍ/ｎ＝ａｋ/ｌ−ｍ/ｎ
＜定理−３＞
１）ａｍ/ｎ×ｂｍ/ｎ＝(ａ×ｂ)ｍ/ｎ
２）ａｍ/ｎ÷ｂｍ/ｎ＝(ａ÷ｂ)ｍ/ｎ
＜証明＞定理−１ から， (ａｍ/ｎ)ｎ＝ａｍ ･････････････････････････････････ (１)
(ｂｍ/ｎ)ｎ＝ｂｍ ･････････････････････････････････ (２)
１）を示す。
(１)×(２) (ａｍ/ｎ)ｎ×(ｂｍ/ｎ)ｎ＝ａｍ×ｂｍ
(ａｍ/ｎ×ｂｍ/ｎ)ｎ＝(ａ×ｂ)ｍ ∵ ｍ，ｎ は整数
ａｍ/ｎ×ｂｍ/ｎ＝(ａ×ｂ)ｍ/ｎ
２）を示す。
(１)÷(２) (ａｍ/ｎ)ｎ÷(ｂｍ/ｎ)ｎ＝ａｍ÷ｂｍ
(ａｍ/ｎ÷ｂｍ/ｎ)ｎ＝(ａ÷ｂ)ｍ ∵ ｍ，ｎ は整数
ａｍ/ｎ÷ｂｍ/ｎ＝(ａ÷ｂ)ｍ/ｎ
＜定理−４＞(ａｋ/ｌ)ｍ/ｎ＝ａｋｍ/ｌｎ
＜証明＞ {(ａｋ/ｌ)ｍ/ｎ}lｎ＝{(ａｋ/ｌ)ｍ}l
＝{(ａｋ/ｌ)ｌ}ｍ
＝(ａｋ)ｍ
＝ａｋｍ
（ａｋ/ｌ)ｍ/ｎ＝ａｋｍ/ｌｎ
＜定理−５＞
１） ０＜ａ＜１ ⇒ ０＜ａｍ/ｎ＜１
２） ａ＝１ ⇒ ａｍ/ｎ＝１
３） １＜ａ ⇒ １＜ａｍ/ｎ
４） ０＜ａ＜１ ⇒ １＜ａ−ｍ/ｎ
５） ａ＝１ ⇒ ａ−ｍ/ｎ＝１
６） １＜ａ ⇒ ０＜ａ−ｍ/ｎ＜１
＜証明＞１）を示す。
条件から， ０＜ａ＜１
０＜ａｍ＜１
０＜(ａｍ/ｎ)ｎ＜１
０＜ａｍ/ｎ＜１
２）を示す。
条件から， ａ＝１
ａｍ＝１
(ａｍ/ｎ)ｎ＝１
ａｍ/ｎ＝１
３）を示す。
条件から，１＜ａ
１＜ａｍ
１＜(ａｍ/ｎ)ｎ
１＜ａｍ/ｎ
４）を示す。 省略
５）を示す。 省略
６）を示す。 省略
＜定理−６＞(ａｎ，ｂｎ)∈Ｒ，(ｐｎ，ｑｎ)∈Ｒ のとき，(ａｎ＾ｐｎ，ｂｎ＾ｑｎ)∈Ｒ、
但し、(ａｎ，ｂｎ)≠０、有理数の ０ を表さない。
（ ａｎ＾ｐｎ は ａｎの ｐｎ乗 ）
＜証明＞ 省略 実数の指数を定義するのに必要です。
| 
