<定義−1>(an,bn)∈R,(pn,qn)∈R,(an^pn,bn^qn)∈R のとき,
(αn^pn,βn^qn) を (αn,βn)^(pn,qn) と書く。
(αn^pn は αn の pn乗, βn^qn は βn の qn乗)
注 意
有理数 an,bn を使って実数 (an,bn) を作ったのですが、
この実数を an,bn にも使えるようになっています。
<定理−1>
1) a が 0 でない実数のとき,a0=1 ( 注意:a は 0 を表す実数でも良い )
2) x が 0 でない実数のとき,0x=0 ( 注意:x は 0 を表す実数でも良い )
3) a、x が 0 でなく、0 を表す実数とき, ax は不定
4) 00 は未定義 0 は整数
5) 0□=1 □ は自然数
<証明>1)を示す。
a=(αn,βn)≠0 とすると、 但し、a は 0 を表す実数を含む。
a0=(αn,βn)0
=(αn,βn)(0,0)
=(αn0,βn0)
=(1,1)
=1
2)を示す。
x=(pn,qn)≠0 とすると、 但し、x は 0 を表す実数を含む。
0x=0^(pn,qn)
=(0,0)^(pn,qn)
=(0^pn,0^qn)
=(0,0)
=0
厳密でなくて、俗な言い方を許してもらうならば、00=1 or 00=0 or 00
は未定義? その答えは、0 が自然数か、0 が整数か、0 を表すが 0 でない実数
か、これによって答えが違ってきます。
f(x)=a〇x□+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+・・・
注意: 指数は自然数です。このとき f(0)=a〇
<定理−2>
1) ax×ay=ax+y
2) ax÷ay=ax−y
<証明>a=(αn,βn),x=(pn,qn),y=(rn,sn) とする。
1)を示す。
ax×ay
=(αn,βn)^(pn,qn)×(αn,βn)^(rn,sn)
=(αn^pn,βn^qn)×(αn^rn,βn^sn)
=(αn^pn×αn^rn,βn^qn×βn^sn)
={αn^(pn+rn),βn^(qn+sn)}
∵ αn,pn,rn,βn,qn,sn は有理数である。
=(αn,βn)^(pn+rn,qn+sn)
=(αn,βn)^{(pn,qn)+(rn,sn)}
=ax+y
2)を示す。
ax÷ay
=(αn,βn)^(pn,qn)÷(αn,βn)^(rn,sn)
=(αn^pn,βn^qn)÷(αn^rn,βn^sn)
=(αn^pn÷αn^rn,βn^qn÷βn^sn)
={αn^(pn−rn),βn^(qn−sn)}
∵ αn,pn,rn,βn,qn,sn は有理数である。
=(αn,βn)^(pn−rn,qn−sn)
=(αn,βn)^{(pn,qn)−(rn,sn)}
=ax−y
<定理−3>
1) ax×bx=(a×b)x
2) ax÷bx=(a÷b)x
<証明>a=(αn,βn),b=(γn,δn),x=(pn,qn) とする。
1)を示す。
ax×bx
=(αn,βn)^(pn,qn)×(γn,δn)^(pn,qn)
=(αn^pn,βn^qn)×(γn^pn,δn^qn)
=(αn^pn×γn^pn,βn^qn×δn^qn)
={(αn×γn)^pn,(βn×δn)^qn}
∵ αn,γn,pn,βn,δn,qn は有理数である。
=(αn×γn)^(pn,qn)
=(a×b)x
2)を示す。
ax÷bx
=(αn,βn)^(pn,qn)÷(γn,δn)^(pn,qn)
=(αn^pn,βn^qn)÷(γn^pn,δn^qn)
=(αn^pn÷γn^pn,βn^qn÷δn^qn)
={(αn÷γn)^pn,(βn÷δn)^qn}
∵ αn,γn,pn,βn,δn,qn は有理数である。
=(αn÷γn,βn÷δn)^(pn,qn)
={αn,βn)÷(γn,δn)}^(pn,qn)
=(a÷b)x
<定理−4>(ax)y=ax×y
<証明>a=(αn,βn),x=(pn,qn),y=(rn,sn) とする。
(ax)y={(αn,βn)^(pn,qn)}^(rn,sn)
=(αn^pn,βn^qn)^(rn,sn)
={(αn^pn)^rn,(βn^qn)^sn}
={αn^(pn×rn),βn^(qn×sn)}
∵ αn,pn,rn,βn,qn,rn は有理数である。
=(αn,βn)^(pn×rn,qn×sn)
=(αn,βn)^{(pn,qn)×(rn,sn)}
=ax×y
<定理−5> 0<x のとき、
1) 0<a<1 ⇒ 0<ax<1
2) a=1 ⇒ ax=1
3) 1<a ⇒ 1<ax
4) 0<a<1 ⇒ 1<a−x
5) a=1 ⇒ a−x=1
6) 1<a ⇒ 0<a−x<1
<証明>a=(αn,βn),x=(pn,qn) とする。
1)を示す。
条件より、0<a<1
0<αn<1, 0<βn<1
0<αn^pn<1, 0<βn^qn<1
∵ an,pn,qn は有理数である。
0<(αn^pn,βn^qn)<1
0<ax<1
2)を示す。
条件より、a=1
(αn,βn)=1
(αn^pn,βn^qn)=1
ax=1
3)を示す。
条件より、1<a
1<(αn,βn)
1<αn, 1<βn
1<αn^pn, 1<βn^qn
∵ an,pn,qn は有理数である。
1<(αn^pn,βn^qn)
1<ax
|