実数からベクトルのページに有る定義に到達するまでに、我々の先人が歩んだ一段
階を眺めるのは大変に有意義です。但し、ちょっと分かりにくい？ これは手探りの
段階にありますから、止むなし、我慢をしましょう。
ｘ
ｙ＝∫(１/ｔ)ｄｔ， ｘ＝ｆ(ｙ)
１
ｄｙ/ｄｘ＝１/ｘ
ｆ'(ｙ)＝ｄｘ/ｄｙ＝ｘ＝ｆ(ｙ)
ｆ(ｙ)＝ｆ'(ｙ)＝ｆ''(ｙ)＝ｆ'''(ｙ)＝・・・
ｘ＝１ のとき、ｙ＝０ 従って
ｆ(０)＝ｆ'(０)＝ｆ''(０)＝ｆ'''(０)＝・・・＝１
よって、Maclaurin 展開
ｆ(ｙ)＝１＋ｙ/１！＋ｙ２/２！＋ｙ３/３！＋・・・
を得る。これはｙのすべての値に関して収束する。
このようにして指数関数が導かれるが、変数の記号を変えて
ｆ(ｘ)＝１＋ｘ/１！＋ｘ２/２！＋ｘ３/３！＋・・・
と書く。指数関数の性質はこの冪級数から得られる。先ず Taylor 展開
ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋(ｙ/１！)ｆ'(ｘ)＋(ｙ２/２！)ｆ''(ｘ)＋・・・
において、すべてのｎに関して ｆ(ｎ)(ｘ)＝ｆ(ｘ) だから
ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)(１＋ｙ/１！＋ｙ２/２！＋・・・）
故に
ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)・ｆ(ｙ）
これを繰り返して
ｆ(ｘ１＋ｘ２＋・・＋ｘｎ)＝ｆ(ｘ１)・ｆ(ｘ２)・・・ｆ(ｘｎ）
ｘ１＝ｘ２＝・・・＝ｘｎ＝１、ｆ(１)＝ｅ と置けば、
ｆ(ｎ)＝ｅｎ
これは自然数ｎを指数とする冪（ｅ・ｅ・・・ｅ）であるが、任意の ｘ 関しても同様の
記号を用いて ｆ(ｘ) を
ｅｘ または exp(ｘ)
と書く。このようにして定義される関数を、低ｅの任意の指数ｘに関する冪という。然ら
ば（３）から
ｅｘ＋ｘ'＝ｅｘｅｘ'
もしも ｃ＞０ として
ｇ(ｘ)＝ｆ(ｃｘ)＝ｅｃｘ
と置くならば、(３) から
ｇ(ｘ＋ｘ)＝ｇ(ｘ)ｇ(ｘ')
今度は
ｇ(１)＝ｅｃ＝ａ
と書いて、前のように
ａｘ＝ｇ(ｘ)
によって冪 ａｘ を定義する
ｅｘ の逆関数っを logｘ とかけば、ｃ＝logａ であるから
ａｘ＝ｇ(ｘ)＝ｆ(ｃｘ)＝ｅｘlogａ
このようにして任意の指数の冪の意味が確定する。
解析概論（高木貞治）より、
何だかよく分からんねぇ・・・、次の定義と見比べてください。
微分方程式 ｄｘ/ｄｐ＝ｘ の解を ｘ＝exp(ｐ) と書き、ｐ＝log(ｘ) と書く。
ａｂ＝exp{ｂ×log(ａ)} と書く。
これも・・・？？？
それは大変に困りましたねぇ、いやはや、数学というのは難しい！！
自然数、整数、有理数、実数、複ベクトル、この流れの中に指数を捉えねばなりません。
あの天才オイラーさえも、そこまでは到達していませんからねぇ・・・？
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