パソコンを我々庶民が使える今日では、ちょっと想像出来ないのであるが，ケプラ
ー，ガリレオ，ニュートンの時代から，つい最近(１０年ほど前)まで数値計算に大変
な時間と労力が費やされたのである。色々工夫されてきた計算法にの中の一つに「指
数と対数」がある。これは相当に古い話であるが，今日の数学にも勿論活きている。
数学とは古いものの上に新しいものを積み重ねて，古いものが決して無くなることは
ない。そんなものらしい。
数学が自然科学に本格的に使われるようになて，次のような計算に直面した。
２３４０００００００×０.０００７４５÷２００００
上の計算を小学生がやるような計算では大変であったから，誰かが次のような計算
法を工夫したのです。
２３４０００００００×０.０００７４５÷２００００
＝２.３４×１０９×(７.４５/１０４)÷(２.０×１０４)
＝(２.３４×７.４５÷２.０)×１０１
１０n の計算は掛け算や割り算でなく，足し算か引き算となり，これは相当な改
善である。勿論現在でも物理や化学の分野で使われています。
これに調子ついたかどうか知りませんが，「２.３４×７.４５÷２.０ も同じよう
な計算が出来ないだろうか・・・？」と考えたのです。
｢何を馬鹿なことを考えるか，気でも狂ったらしい、とんでもない話である」 と考
えるのは凡人の常識であり，そこを乗り越えられるのが天才であって，我々凡人には
決して手の届かない分野なのでしょう。数学は天才の誕生を待つしか方法がない部分
も間違いなくあります。
分かりやすくするのに，３×５＝１５ の計算を例に取って考えよう。
３×５＝１００.･･･×１００.･･･
＝１００.･･･＋０.･･･
＝１０１.･･･
＝１５
こんな計算があるかも知れない。｢答えの分かっているものを何をやり出す」と言
わないように。 これを眺めていると，小数点が附いた数が指数になるらしいことに
感づくであろう。「指数が有理数にもなる・・・？」 これはちょっと早とちりであ
る。なぜならば，この時点では未だ有理数の指数の定義が無いのである。 有りもし
ないものを考えるのは妄想で「バカ」としか言いようがない。
それでは有理数の指数を定義しよう。 この時頭に残して置くべきことは，掛け算
が指数の足し算になること。 割り算が指数の引き算になること。これを忘れること
は指数を考える理由を失うことを意味するからです。
次の例で有理数の指数を考えよう。
１０１＝１０
１０２＝１００
１０３＝１０００
１０４＝１００００
上の式を眺めて，そして頭に残して置くべきことを考えて １０１.５＝？？？？
１０１.５×１０１.５＝１０３＝１０００
(１０１.５)２＝１０００
ここで １０１.５ を ｘ に置き換えてると (ｘ)２＝１０００ となる。
このことから「１０１.５ は方程式 ｘ２＝１０００ の解らしい」と考えるのは間
違いで，「こうすれば良さそう」と考えるべきです。なぜなら，今定義をどうすべ
きかを考えているのです。
上に書いたことを一般化して「ａｍ/ｎ は方程式 ｘｎ＝ａｍ の解である」としよ
う。本当にこれで良いのであろうか？ つまり，掛け算が指数の足し算に，割り算が
指数の引き算になっているだろうか？ これについて，このブロックの「整数 の 指
数」と名付けたページに確かめられてあります。
| 
