当ホームページでは、微積分に使う関数を級数展開式に限定していますので、ここ
は大変に重要です。関数を級数展開式に限定してしまうと、整式以外は微分出来ない
ことになりますが、そんなことはありません。整式以外の sinｘ、logｘ 等も級数展
開が出来きて、微分が出来ます。と言うよりも、整式以外も整式と同じように級数展
開が出来るように拡張します。先ずは整式の級数展開の方法を見てきて下さい。
上の整式の級数展開を見てきましたか、これと同じことを整式以外の関数にも拡張
しましょう。整式に限定しない一般の関数 ｆ(ｘ) を (ｘ−ａ) で展開しましょう。
ｆ(ｘ) を (ｘ−ａ) で割った余りは ｆ(ａ) で、商を ｆ１(ｘ)
と表すと、次式となります。
ｆ(ｘ)＝ｆ(ａ)＋ｆ１(ｘ)(ｘ−ａ)
ｆ１(ｘ) を (ｘ−ａ) で割った余りは ｆ１(ａ) で、商を ｆ２(ｘ)
と表すと、次式となります。
ｆ１(ｘ)＝ｆ１(ａ)＋ｆ２(ｘ)(ｘ−ａ)
上の２つの式から、
ｆ(ｘ)＝ｆ(ａ)＋ｆ１(ａ)(ｘ−ａ)＋ｆ２(ｘ)(ｘ−ａ)２
ちょっと待って、ちょっと待って、
皆さん、こんなことが出来ると思いますか？
皆さんが高校、大学で勉強してきた数学の範囲では出来ません。
ならば、出来るように作り替えれば良いことになります。
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