＜例題＞ｘ２＋ｙ２＝１ のとき、ｘ＞０、ｙ＞０ の範囲で、ｚ＝ｘ＋ｙ で表される ｚ の最大
値を求めよ。
＜解答＞条件より、ｚ＝ｘ＋ｙ
ｄｚ＝ｄ(ｘ＋ｙ)
＝ｄｘ＋ｄｙ
ｚ が極値のとき ｄｚ＝０ であるから、
０＝ｄｘ＋ｄｙ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、１＝ｘ２＋ｙ２
ｄ(１)＝ｄ(ｘ２＋ｙ２ )
０＝ｄ(ｘ２)＋ｄ(ｙ２)
＝２ｘｄｘ＋２ｙｄｙ
＝ｘｄｘ＋ｙｄｙ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)×ｙ−(２)
０＝ｙｄｘ−ｘｄｘ
＝ｙ−ｘ
上の式より、ｙ＝ｘ のとき ｚ が極値になり、
このとき、ｘ＝ｙ＝２−１/２，ｚ＝２−１/２＋２−１/２＝２１/２
上の ｚ の値が最大値であることを示す。
(２１/２)２ −ｚ２
＝２−ｚ２
＝２−(ｘ＋ｙ)２
＝２−ｘ２−２ｘｙ−ｙ２
＝１−２ｘｙ
＝ｘ２＋ｙ２−２ｘｙ
＝(ｘ−ｙ)２≧０
上の式より、２１/２ が ｚ の最大値である。(ｘ＝ｙ＝２−１/２)
偏微分を使っていないようですが、解答の裏側に・・・？？？
そんなことよりも、ｄｘ、ｄｙ とは何か・・・？
「それは微小な変化量で御座います」これでは、上の解答が浮かばれない。
＜解答＞条件より、ｘ２＋ｙ２＝１
２ｘ＋２ｙ(ｄｙ/ｄｘ)＝０
ｘ＋ｙ(ｄｙ/ｄｘ)＝０
ｄｙ/ｄｘ＝−ｘ/ｙ・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、ｚ＝ｘ＋ｙ
ｄｚ/ｄｘ＝１＋ｄｙ/ｄｘ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)、(２）より、
ｄｚ/ｄｘ＝１＋(−ｘ/ｙ)
＝(ｙ−ｘ)/ｙ
イ）ｙ＞ｘ のとき、ｄｚ/ｄｘ＞０ ｚ は単調増加
ロ）ｙ＝ｘ のとき、ｄｚ/ｄｘ＝０ ｚ は極値
ハ）ｙ＜ｘ のとき、ｄｚ/ｄｘ＜０ ｚ は単調減少
イ)、ロ)、ハ）より、ｙ＝ｘ のとき、ｚ は極大、かつ、 最大となる。
このとき、ｘ２＋ｙ２＝１、ｚ＝ｘ＋ｙ、ｘ＞０、ｙ＞０ から、
ｘ＝ｙ＝２−１/２，ｚ＝２１/２
高校数学の範囲で書けば、こうなります。この解答を元にして、初め
解答を作った。これが真相で、ラグランジの未定係数法とは無縁です。
＜例題＞ｚ＝ｘ２＋２ｘｙ＋２ｙ２−６ｙ＋１ について、ｚ の最小値を求めよ。
＜解答＞ｚ＝ｘ２＋２ｘｙ＋２ｙ２−６ｙ＋１ から、
ｄｚ＝２ｘｄｘ＋２(ｙｄｘ＋ｘｄｙ)＋４ｙｄｙ−６ｄｙ
＝(２ｘ＋２ｙ)ｄｘ＋(２ｘ＋４ｙ−６)ｄｙ
ｚ が極値となるとき、ｄｚ＝０
０＝(２ｘ＋２ｙ)ｄｘ＋(２ｘ＋４ｙ−６)ｄｙ
＝(ｘ＋ｙ)ｄｘ＋(ｘ＋２ｙ−３)ｄｙ
上の式より、ｚ が極値となる ｘ、ｙ には ｘ＋ｙ＝ｘ＋２ｙ−３＝０ が成立する。
ｘ＝−３、ｙ＝３
このとき、ｚ＝(−３)２＋２(−３)(３)＋２(３)２−６(３)＋１
＝９−１８＋１８−１８＋１
＝−８
ｚ−(−８)＝ｘ２＋２ｘｙ＋２ｙ２−６ｙ＋１−(−８)
＝ｘ２＋２ｘｙ＋２ｙ２−６ｙ＋９
＝ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＋ｙ２−６ｙ＋９
＝(ｘ＋ｙ)２＋(ｙ−３)２≧０
ｚ−(−８)≧０
上の式より、−８ は極値であり、かつ、最小値である。
（答）最小値 −８（ｘ＝−３，ｙ＝３）
「この解答に偏微分を使った」と言えるのかどうか、問題がないことはありませ
んが、実質的に使っています。少なくとも解答を書いた当人はそう考えています。
ｚ＝ｘ２＋２ｘｙ＋２ｙ２−６ｙ＋１ から、
ｄｚ＝ｄ(ｘ２＋２ｘｙ＋２ｙ２−６ｙ＋１)
＝ｄ(ｘ２)＋ｄ(２ｘｙ)＋ｄ(２ｙ２)−ｄ(６ｙ)＋ｄ(１)
＝ｄ(ｘ２)＋２ｄ(ｘｙ)＋２ｄ(ｙ２)−６ｄ(ｙ)＋０
＝２ｘｄｘ＋２(ｄｘｙ＋ｘｄｙ)＋４ｙｄｙ−６ｄｙ
＝(２ｘ＋２ｙ)ｄｘ＋(２ｘ＋４ｙ−６)ｄｙ
ｄｚ＝(∂ｚ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｚ/ｄｙ)ｄｙ
＝(２ｘ＋２ｙ)ｄｘ＋(２ｘ＋４ｙ−６)ｄｙ
ｄｚ の２つの計算法を比較してください。
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