＜例題＞ｘ，ｙ が ｘ２＋ｙ２＝２ を満たすとき、ｘ＋ｙ の最大値、最小値を求めよ。
＜解答＞条件から、ｘ２＋ｙ２＝２
２ｘｄｘ＋２ｙｄｙ＝ｄ(２)＝０
ｘｄｘ＋ｙｄｙ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
ｚ＝ｘ＋ｙ と置く。
ｄｚ＝ｄｘ＋ｄｙ
ｚ が極値になるとき、ｄｚ＝０ となるから、
ｄｘ＋ｄｙ＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)−(２)×ｙ ｘｄｘ＋ｙｄｙ＝０
−）ｙｄｘ＋ｙｄｙ＝０
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(ｘ−ｙ)ｄｘ ＝０
(ｘ−ｙ)＝０
ｘ＝ｙ
上の式と ｘ２＋ｙ２＝２ から、ｘ＝ｙ＝±１ のとき極値となる。
ｄｚ＝ｄｘ＋ｄｙ から、ｄｚ/ｄｘ＝１＋ｄｙ/ｄｘ＝１−ｘ/ｙ
＝(ｙ−ｘ)/ｙ
−２１/２＜ｘ＜−１ のとき、０＜ｙ＜−１
ｄｚ/ｄｘ＜０
ｘ＝−１ のとき、ｄｚ/ｄｘ＝０
−１＜ｘ＜０ のとき、−２１/２＜ｙ＜−１
ｄｚ/ｄｘ＞０
０＜ｘ＜１ のとき、１＜ｙ＜２１/２
ｄｚ/ｄｘ＞０
ｘ＝１ のとき、ｄｚ/ｄｘ＝０
１＜ｘ＜２１/２ のとき、０＜ｙ＜１
ｄｚ/ｄｘ＜０
以上により、ｘ＝ｙ＝１ のとき、ｚ が最大 ２ となり、
ｘ＝ｙ＝−１ のとき、ｚ が最小 −２ となる。
最大値 ２ (ｘ＝ｙ＝１)、最小値 −２ (ｘ＝ｙ＝−１)・・・・・・（答）
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