例　題　





＜例題＞曲面 ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ)，ｘｙ平面，ｙｚ平面，ｚｘ平面，点(ｘ，ｙ) を通り ｙｚ平面，

　　　　ｚｘ平面と平行な平面で囲まれる立体の体積を ｖ(ｘ，ｙ) とするとき，ｖ は次式で

　　　　表されることを示せ。    ｖ(ｘ，ｙ)＝∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ

＜解答＞ｘ＝(ａｎ，ｂｎ），ｙ＝(ｃｎ，ｄｎ）とする。

　　　　　ｖ(ａｎ，ｂｎ)＝ｐ０＋ｐ１１(ａｎ−ｘ)＋ｐ１２(ｂｎ−ｙ)＋･･･  ････････   (１)

　　　　　ｖ(ｃｎ，ｄｎ)＝ｐ０＋ｐ１１(ｃｎ−ｘ)＋ｐ１２(ｄｎ−ｙ)＋･･･  ････････   (２)

　　　　とすると， 

　　　　(１) に ａｎ＝ｘ，ｂｎ＝ｙ を代入して，ｖ(ｘ，ｙ)＝ｐ０

　　　　上の式より，

　　　　　　ｖ(ａｎ，ｂｎ)＝ｖ(ｘ，ｙ)＋ｐ１１(ａｎ−ｘ)＋ｐ１２(ｂｎ−ｙ)＋･･･

　　　　点(ｘ，ｙ) を通り ｙｚ平面と平行な平面の面積を ｓ(ｘ，ｙ) とすると，

　　　　どんな大きい ｎ に対しても成立するには，ｐ１１＝ｓ(ｘ，ｙ)

　　　　上の式より，

　　　　　　ｖ(ａｎ，ｂｎ)＝ｖ(ｘ，ｙ)＋ｓ(ｘ，ｙ)(ａｎ−ｘ)＋ｐ１２(ｂｎ−ｙ)＋･･･

             ｖ(ａｎ，ｙ)−ｖ(ｘ，ｙ)＝ｓ(ｘ，ｙ)(ａｎ−ｘ)＋･･･

                    {ｖ(ａｎ，ｙ)−ｖ(ｘ，ｙ)}÷(ａｎ−ｘ)＝ｓ(ｘ，ｙ)＋･･･

　　　　同様にして，{ｖ(ｃｎ，ｙ)−ｖ(ｘ，ｙ)}÷(ｃｎ−ｘ)＝ｓ(ｘ，ｙ)＋･･･

　　　　　　　∂ｖ(ｘ，ｙ)/∂ｘ＝{ｓ(ｘ，ｙ)＋･･･，ｓ(ｘ，ｙ)＋･･･}

 　　　　　　　　　　　　　　　＝{ｓ(ｘ，ｙ)，ｓ(ｘ，ｙ)}

 　　　　　　　　　　　　　　　＝ｓ(ｘ，ｙ)･･････････････････････････････････････(３)

　　　　　　ｓ(ａｎ，ｂｎ)＝ｑ０＋ｑ１１(ａｎ−ｘ)＋ｑ１２(ｂｎ−ｙ)＋･･･   ････････(４)

　　　　　　ｓ(ｃｎ，ｄｎ)＝ｑ０＋ｑ１１(ｃｎ−ｘ)＋ｑ１２(ｄｎ−ｙ)＋･･･   ････････(５)

　　　　とすると，

　　　　(４) に ａｎ＝ｘ，ｂｎ＝ｙ を代入して，ｓ(ｘ，ｙ)＝ｑ０

　　　　上の式より，

　　　　     ｓ(ｃｎ，ｄｎ)＝ｓ(ｘ，ｙ)＋ｑ１１(ｃｎ−ｘ)＋ｑ１２(ｄｎ−ｙ)＋･･･

             ｓ(ａｎ，ｂｎ)−ｓ(ｘ，ｙ)＝ｑ１１(ａｎ−ｘ)＋ｑ１２(ｂｎ−ｙ)＋･･･

　　　　どんな大きい ｎ に対しても上の式が成立するには，ｑ１１＝ｆ(ｘ，ｙ)

                   {ｓ(ｘ，ｂｎ)−ｓ(ｘ，ｙ)}÷(ｂｎ−ｙ)＝ｆ(ｘ，ｙ)＋･･･

　　　　同様にして，{ｓ(ｘ，ｄｎ)−ｓ(ｘ，ｙ)}÷(ｄｎ−ｙ)＝ｆ(ｘ，ｙ)＋･･･

　　　　　　　∂ｓ(ｘ，ｙ)/∂ｙ＝{ｆ(ｘ，ｙ)＋･･･，ｆ(ｘ，ｙ)＋･･･}

 　　　　　　　　　　　　　　　＝{ｆ(ｘ，ｙ)，ｆ(ｘ，ｙ)}

 　　　　　　　　　　　　　　　＝ｆ(ｘ，ｙ)･･････････････････････････････････････(６)

　　　　(３)，(６) から，∂{∂ｖ(ｘ，ｙ)/∂ｘ}/∂ｙ＝ｆ(ｘ，ｙ)

              ∂ｖ(ｘ，ｙ)/∂ｘ＝∫ｆ(ｘ，ｙ)ｄｙ

                     ｖ(ｘ，ｙ)＝∫{∫ｆ(ｘ，ｙ)ｄｙ}ｄｘ

                               ＝∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｙｄｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　 （条件より，積分定数は ０ となる）






＜例題＞曲面 ｚ＝ｆ(Ｘ＋Ｙ)，ｘｙ平面，ｙｚ平面，ｚｘ平面，点(ｘ，ｙ) を通り ｙｚ平面，

　　　　ｚｘ平面と平行な平面で囲まれる立体の体積を ｖ(ｘ，ｙ) とするとき，ｖ は次式で

　　　　表されることを示せ。

           ｖ(ｘ，ｙ)＝∫ｆ(Ｘ＋Ｙ)(ｄＸ＊ｄＹ)   但し、Ｘ＝(ｘ，０)，Ｙ＝(０，ｙ)

                        但し、∂ｖ/ｄｘ＞０，∂ｖ/ｄｙ＞０ とする。

                        (これは証明を簡単にするために付けた条件）

＜解答＞ｓ＝(０，ｙ)＊(ｘ，０)＝ｙｘ，ｘ＝(ａｎ，ｂｎ)，ｙ＝(ｃｎ，ｄｎ）とする。

　　　　　ｖ(ｃｎａｎ)＝ｐ０＋ｐ１(ｃｎａｎ−ｓ)＋ｐ２(ｃｎａｎ−ｓ)２＋･･･  ････････(１)

　　　　　ｖ(ｄｎｂｎ)＝ｐ０＋ｐ１(ｄｎｂｎ−ｓ)＋ｐ２(ｄｎｂｎ−ｓ)２＋･･･  ････････(２)

　　　　とする。 

　　　　(１) に ａｎ＝ｘ，ｃｎ＝ｙ を代入して，ｖ(ｓ)＝ｖ(ｘｙ)＝ｐ０

　　　　上の式より，ｖ(ｃｎａｎ)＝ｖ(ｓ)＋ｐ１(ｃｎａｎ−ｓ)＋ｐ２(ｃｎａｎ−ｓ)２＋･･･

           ｖ(ｃｎａｎ)−ｖ(ｓ)＝ｐ１(ｃｎａｎ−ｓ)＋ｐ２(ｃｎａｎ−ｓ)２＋･･･    

         {ｖ(ｃｎａｎ)−ｖ(ｓ)}÷{ｃｎａｎ−ｓ}＝ｐ１＋ｐ２(ｃｎａｎ−ｓ)＋･･･  ････(３)

　　　          　{ｃｎａｎ−ｓ}ｆ{(ｃｎ，０)＋(０，ａｎ)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　＜{ｖ(ｃｎａｎ)−ｖ(ｓ)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＜{ｃｎａｎ−ｓ}ｆ(Ｘ＋Ｙ)

          ｆ(ａｎ，ｃｎ)＜{ｖ(ｃｎａｎ)−ｖ(ｓ)}÷{ｃｎａｎ−ｓ}＜ｆ(ｘ，ｙ) ･････ (４)

　　　　(３)，(４) から、どんな大きな ｎ についても成立するには、ｐ１＝ｆ(Ｘ＋Ｙ)

　　　　∴     ｖ(ｃｎａｎ)−ｖ(ｓ)＝ｆ(Ｘ＋Ｙ)(ｃｎａｎ−ｓ)＋ｐ２(ｃｎａｎ−ｓ)２＋･･･

　　　　同様に ｖ(ｄｎｂｎ)−ｖ(ｓ)＝ｆ(Ｘ＋Ｙ)(ｄｎｂｎ−ｓ)＋ｐ２(ｄｎｂｎ−ｓ)２＋･･･

　　　　上の２つの式より、

　　　　　　{ｖ(ｃｎａｎ)−ｖ(ｓ)，ｖ(ｄｎｂｎ)−ｖ(ｓ)}

                   ＝{ｆ(Ｘ＋Ｙ)(ｃｎａｎ−ｓ)＋ｐ２(ｃｎａｎ−ｓ)２＋･･･    

                             ，ｆ(ｘ，ｙ)(ｄｎｂｎ−ｓ)＋ｐ２(ｄｎｂｎ−ｓ)２＋･･･}

                   ＝{ｆ(Ｘ＋Ｙ)(ｃｎａｎ−ｓ)，ｆ(ｘ，ｙ)(ｄｎｂｎ−ｓ)}    

                   ＝ｆ(Ｘ＋Ｙ){ｃｎａｎ−ｓ，ｄｎｂｎ−ｓ)    

　　　　　　　　ｄｖ＝ｆ(Ｘ＋Ｙ)ｄｓ

　　　　　　　　　ｖ＝∫ｆ(Ｘ＋Ｙ)ｄｓ   ･･･････････････････････････････････････(５)

　　　　　　ｄＹ＊ｄＸ

                   ＝(０，ｄｙ)＊(ｄｘ，０)

                   ＝ｄｙ×ｄｘ−０×０

                   ＝(ｃｎ−ｙ，ｄｎ−ｙ)×(ａｎ−ｘ，ｂｎ−ｘ)

                   ＝{(ｃｎ−ｙ)(ａｎ−ｘ)，(ｄｎ−ｙ)(ｂｎ−ｘ)}

                   ＝(ｃｎａｎ−ｃｎｘ−ｙａｎ＋ｙｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，ｄｎｂｎ−ｄｎｘ−ｙｂｎ＋ｙｘ)

                   ＝(ｃｎａｎ−ｃｎｘ＋ｙｘ−ｙａｎ＋ｙｘ−ｙｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，ｄｎｂｎ−ｄｎｘ＋ｙｘ−ｙｂｎ＋ｙｘ−ｘｙ)

                   ＝{ａｎｃｎ−ｘ(ｃｎ−ｙ)−ｙ(ａｎ−ｙ)−ｙｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，ｂｎｄｎ−ｘ(ｄｎ−ｘ)−ｙ(ｂｎ−ｘ)−ｙｘ}

                   ＝(ｃｎａｎ−ｘｙ，ｄｎｂｎ−ｘｙ)

                   ＝(ｃｎａｎ−ｓ，ｄｎｂｎ−ｓ)

                   ＝ｄｓ    ･････････････････････････････････････････････････ (６)

　　　　(５)，(６) より、ｖ(ｘ，ｙ)＝∫ｆ(Ｘ＋Ｙ)(ｄＹ＊ｄＸ)





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