例　題　





＜例題＞半径 ｒ の円の面積を求めよ。

＜解答＞半径 ｒ，中心角 θ の扇形の面積を ｓ(ｒ，θ) とする。

        ｒ＝(ａｎ，ｂｎ），θ＝(ｃｎ，ｄｎ）とし，

        　　ｓ(ａｎ，ｃｎ)＝ｐ０＋ｐ１０(ａｎ−ｒ)＋ｐ０１(ｂｎ−θ)＋･･･ ･････････(１)

        　　ｓ(ｂｎ，ｄｎ)＝ｐ０＋ｐ１０(ｃｎ−ｒ)＋ｐ０１(ｄｎ−θ)＋･･･ ･････････(２)

        とする。 

        (１) に ａｎ＝ｒ，ｃｎ＝θ を代入して，ｓ(ｒ，θ)＝ｐ０

        上の式より，

            ｓ(ａｎ，ｃｎ)＝ｓ(ｒ，θ)＋ｐ１０(ａｎ−ｒ)＋ｐ０１(ｂｎ−θ)＋･･･

            　ｓ(ｒ，ｃｎ)＝ｓ(ｒ，θ)＋ｐ０１(ｂｎ−θ)＋･･･

        どんな大きい ｎ に対しても成立するには，ｐ０１＝(１/２)ｒ２

                                ｓ(ｒ，ｃｎ)−ｓ(ｒ，θ)＝(１/２)ｒ２(ｂｎ−θ)＋･･･

　　　　　　　　　　{ｓ(ｒ，ｃｎ)−ｓ(ｒ，θ)}/(ｃｎ−θ)＝(１/２)ｒ２＋･･･

　　　　同様にして，{ｓ(ｒ，ｄｎ)−ｓ(ｒ，θ)}/(ｄｎ−θ)＝(１/２)ｒ２＋･･･

             ∂ｓ(ｒ，θ)/∂θ＝{(１/２)ｒ２＋･･･，(１/２)ｒ２＋･･･}

                             ＝(１/２)(ｒ２，ｒ２)

                             ＝(１/２)ｒ２

             ∂{∂ｓ(ｒ，θ)/∂θ}/∂ｒ＝(１/２)(２ｒ)＝ｒ

                      ∂ｓ(ｒ，θ)/∂θ＝∫ｒｄｒ

                             ｓ(ｒ，θ)＝∫(∫ｒｄｒ)ｄθ

                                       ＝∬ｒｄｒｄθ


２回目の微分は全く無駄である。

ここは重積分の例題として選んだからこうなったのである。






        ∞
＜例題＞∫ｅ−ｘ×ｘｄｘ を求めよ。
        -∞
                 ∞                     ∞
＜解答＞Ｉ×Ｉ＝{∫ｅ−ｘ×ｘｄｘ}×{∫ｅ−ｙ×ｙｄｙ} とおく。
                 -∞                    -∞
                     ∞ ∞
               Ｉ２＝∫∫ｅ−ｘ×ｘ−ｙ×ｙｄｘｄｙ
                    -∞ -∞
         ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθ とおくと、Ｊ＝ｒ
                         ∞ ２π
                   Ｉ２＝∫∫ｅ−ｒcosθ×ｒcosθ−ｒsinθ×ｒsinθｒｄｒｄθ
                         ０  ０
                        ∞ ２π
                      ＝∫∫ｅ−ｒ×ｒｒｄｒｄθ
                        ０  ０
                         ∞                     ２π
                      ＝∫ｅ−ｒ×ｒｒｄｒ×∫１ｄθ
                         ０                     ０
                                         ∞     ２π
                      ＝[(−１/２)ｅ−ｒ×ｒ]×[θ]
                                         ０      ０
                      ＝(１/２)×２π

                      ＝π

                    Ｉ＝π１/２





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