例題−５　





＜例題＞ｚ＝ｘ２ｙ のとき，∂ｙｚ/ｄｘ，∂ｘｚ/ｄｙ を求めよ。

＜解答＞条件から，ｚ＝(ａｎ)２ｙ

　　　　ａｎ−ｘ＝ｕ とおくと，ａｎ＝ｕ＋ｘ

　　　　上の式から，　 (ａｎ)２ｙ＝(ｕ＋ｘ)２ｙ

               　　　　　　　  ＝(ｕ２＋２ｕｘ＋ｘ２)ｙ

               　　　　　　　  ＝ｕ２ｙ＋２ｕｘｙ＋ｘ２ｙ

               　　　　　　　　＝ｘ２ｙ＋２(ａｎ−ｘ)ｘｙ＋(ａｎ−ｘ)２ｙ

               (ａｎ)２ｙ−ｘ２ｙ＝２ｘｙ(ａｎ−ｘ)＋ｙ(ａｎ−ｘ)２

　　　　同様にして，

               (ｂｎ)２ｙ−ｘ２ｙ＝２ｘｙ(ｂｎ−ｘ)＋ｙ(ｂｎ−ｘ)２

　　　　上の式から，

              ∂ｙｚ/ｄｘ＝{２ｘｙ(ａｎ−ｘ)＋ｙ(ａｎ−ｘ)２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，２ｘｙ(ｂｎ−ｘ)＋ｙ(ｂｎ−ｘ)２}÷ｄｘ

                     　  ＝{２ｘｙ(ａｎ−ｘ)，２ｘｙ(ｂｎ−ｘ)}÷ｄｘ

                    　   ＝２ｘｙ


               ｘ２ｃｎ−ｘ２ｙ＝ｘ２(ｃｎ−ｙ)

               ｘ２ｄｎ−ｘ２ｙ＝ｘ２(ｄｎ−ｙ)

　　　　上の式から，

             ∂ｘｚ/ｄｙ＝{ｘ２(ｃｎ−ｙ)，ｘ２(ｄｎ−ｙ)}÷ｄｙ＝ｘ２


            大学生用の教科書にある解答の方が良いが，ここでは定義の顔をたてよう。


＜別解＞条件から，ｚ＝ｘ２ｙ

　　　　　　　　ｄｚ＝ｄ(ｘ２ｙ)

　　　　　　　　　　＝ｄｘ×ｘ×ｙ＋ｘ×ｄｘ×ｙ＋ｘ×ｘ×ｄｙ

　　　　　　　　　　＝２ｘｙｄｘ＋ｘ２ｄｙ

　　　　上の式から，∂ｙｚ/ｄｘ＝２ｘｙ，∂ｘｚ/ｄｙ＝ｘ２






＜例題＞ｚ＝ｘｙ，ｘ＝２ｔ，ｙ＝ｔ２ のとき，ｄｚ/ｄｔ を求めよ。

＜解答＞条件から，ｄｚ＝∂ｙｚ＋∂ｘｚ＝ｙｄｘ＋ｘｄｙ

                  ｄｘ＝ｄ(２ｔ)＝２ｄｔ

                  ｄｙ＝ｄ(ｔ２)＝２ｔｄｔ

　　　　上の式から，

                  ｄｚ＝ｔ２×２ｄｔ＋２ｔ×２ｔｄｔ

                      ＝６ｔ２×ｄｔ

             ｄｚ/ｄｔ＝６ｔ２


＜別解＞条件から，  ｚ＝２ｔ×ｔ２

                      ＝２ｔ３

                      ＝２×３ｔ２ｄｔ

             ｄｚ/ｄｔ＝６ｔ２


＜例題＞ｘ２＋ｙ２＝１ のとき，ｄｙ/ｄｘ を求めよ。

＜解答＞条件から，ｘ２＋ｙ２＝１

              ｄ(ｘ２＋ｙ２)＝ｄ(１)

           ∂ｙｆ(ｘ２＋ｙ２)＋∂ｘｆ(ｘ２＋ｙ２)＝０

                            ２ｘｄｘ＋２ｙｄｙ＝０

                                       ｙｄｙ＝−ｘｄｘ
  
                                    ｄｙ/ｄｘ＝−ｘ/ｙ

＜別解＞条件から，ｘ２＋ｙ２＝１

                  ｄ(ｘ２＋ｙ２)＝ｄ(１)

              ｄ(ｘ２)＋ｄ(ｙ２)＝ｄ(１)

              ２ｘｄｘ＋２ｙｄｙ＝０

                         ｙｄｙ＝−ｘｄｘ
  
                      ｄｙ/ｄｘ＝−ｘ/ｙ


　別解の方がはるかに良い。だから前の解答を無視する。 こんなことの無いよう

に。書く方は別解を参考程度にしか考えてないことをくれぐれも忘れないように。





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