例題−６　





＜例題＞ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ のとき，∂ｙｚ/ｄｘ を求めよ。

＜解答＞条件から，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１

　　　　　　ｄ(ｘ２＋ｙ２＋ｚ２)＝ｄ(１)

　　　　　　ｄ(ｘ２)＋ｄ(ｙ２)＋ｄ(ｚ２)＝ｄ(１)

　　　　　　　　　２ｘｄｘ＋２ｙｄｙ＋２ｚｄｚ＝０

　　　　　　　　　　　　ｘｄｘ＋ｙｄｙ＋ｚｄｚ＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　ｚｄｚ＝−ｘｄｘ−ｙｄｙ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　  ｄｚ＝−(ｘ/ｚ)ｄｘ−(ｙ/ｚ)ｄｙ

　　　　上の式から、∂ｙｚ÷ｄｘ＝−ｘ/ｚ、　∂ｘｚ÷ｄｙ＝−ｙ/ｚ、


＜別解＞条件から，ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１

　　　　　　∂ｙ(ｘ２＋ｙ２＋ｚ２)＝∂ｙ(１)

　　　　　　∂ｙ(ｘ２)＋∂ｙ(ｙ２)＋∂ｙ(ｚ２)＝∂ｙ(１)

　　　　　　　　　２ｘ∂ｙｘ＋０＋２ｚ∂ｙｚ＝０

　　　　　　　　　　　２ｘ∂ｙｘ＋２ｚ∂ｙｚ＝０

　　　　　　　　　　　　　ｘ∂ｙｘ＋ｚ∂ｙｚ＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｚ∂ｙｚ＝−ｘ∂ｙｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　∂ｙｚ÷ｄｘ＝−(ｘ/ｚ)∂ｙｘ÷ｄｘ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝−ｘ/ｚ 　　　   ∵　∂ｙｘ＝ｄｘ

　　 　 　同様にして、          ∂ｘｚ÷ｄｙ＝−ｙ/ｚ 






＜例題＞平面上の曲線 ｆ(ｘ，ｙ)＝０ 上の点 (ｘ０，ｙ０) における接線の方程式は次式であ

　　　　ることを示せ。

　　　　　　(∂ｙｆ(ｘ０，ｙ０)/ｄｘ)(ｘ−ｘ０)＋(∂ｘｆ(ｘ０，ｙ０)/ｄｙ)(ｙ−ｙ０)＝０

＜解答＞条件から，ｆ(ｘ，ｙ)＝０ 

                                                  ｄｆ(ｘ，ｙ)＝ｄ(０) 

　　　　　　            　　 　  　∂ｙｆ(ｘ，ｙ)＋∂ｘｆ(ｘ，ｙ)＝０

　　　　             　　∂ｙｆ(ｘ，ｙ)/ｄｘ＋∂ｘｆ(ｘ，ｙ)/ｄｘ＝０/ｄｘ

　　　　　　∂ｙｆ(ｘ，ｙ)/ｄｘ＋{∂ｘｆ(ｘ，ｙ)/ｄｙ}(ｄｙ/ｄｘ)＝０

              　   ｄｙ/ｄｘ＝−{∂ｙｆ(ｘ，ｙ)/ｄｘ}÷{∂ｘｆ(ｘ，ｙ)/ｄｙ}

　　　　上の式より、点 (ｘ０，ｙ０) における接線の傾きは、

　　　　　　　　　　　−{∂ｙｆ(ｘ０，ｙ０)/ｄｘ}÷{∂ｘｆ(ｘ０，ｙ０)/ｄｙ}

　　　　∴　求める接線の方程式は次式である。

            ｙ−ｙ０＝−[{∂ｙｆ(ｘ０，ｙ０)/ｄｘ}÷{∂ｘｆ(ｘ０，ｙ０)/ｄｙ}](ｘ−ｘ０)

            {∂ｙｆ(ｘ０，ｙ０)/ｄｘ}(ｘ−ｘ０)＋{∂ｘｆ(ｘ０，ｙ０)/ｄｙ}(ｙ−ｙ０)＝０






＜例題＞ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１，ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０ のとき、ｘ＋ｙ＋ｚ の最大値を求

　　　　めよ。

＜解答＞Ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ とおくと、ｄＳ＝ｄｘ＋ｄｙ＋ｄｚ・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　条件より、ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１

　　　　　　　ｄ(ｘ２＋ｙ２＋ｚ２)＝ｄ(１)

　　　　　　　２ｘｄｘ＋２ｙｄｙ＋２ｚｄｚ＝０

　　　　　　　　　　ｘｄｘ＋ｙｄｙ＋ｚｄｚ＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄｚ＝−(ｘ/ｚ)ｄｘ−(ｙ/ｚ)ｄｙ ・・・・・（２）

　　　　(２) を (１) に代入、

　　　　　　　ｄＳ＝ｄｘ＋ｄｙ−(ｘ/ｚ)ｄｘ−(ｙ/ｚ)ｄｙ

　　　　　　　　　＝(１−ｘ/ｚ)ｄｘ＋(１−ｙ/ｚ)ｄｙ

　　　　上の式より、∂ｙＳ/ｄｘ＝１−ｘ/ｚ，∂ｘＳ/ｄｙ＝１−ｙ/ｚ，

　　　　Ｓ が極値となるには、∂ｙＳ/ｄｘ＝０，∂ｘＳ/ｄｙ＝０ であるから、

 　　　　　　　　　　１−ｘ/ｚ＝１−ｙ/ｚ＝０

　　　　上の２つの式より、ｘ＝ｙ＝ｚ

　　　　上の式と ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１、ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０ より、ｘ＝ｙ＝ｚ＝３−１/２

　　　　このとき、Ｓ＝３−１/２＋３−１/２＋３−１/２＝３１/２

　　　　ｘ＝ｙ＝ｚ＝３−１/２ 以外の点は、Ｓ は ３１/２ より小さいから、

　　　　ｘ＝ｙ＝ｚ＝３１/２ の点で、Ｓ は極大であり、かつ最大である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）最大値：３１/２（ｘ＝ｙ＝ｚ＝３−１/２）





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