例　題　





＜例題＞ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ)，ｘ＝ａcost，ｙ＝ｂsinｔ の時、ｚ を ｔ の関数とみて、ｚ'(０) を

　　　　求めよ。

＜解答＞条件から，ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ)

　　　　　　　　ｄｚ＝∂ｙ＋∂ｘ

　　　　　　　　　　＝(∂ｙ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘ/ｄｙ)ｄｙ・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　条件から，ｘ＝ａcost，　　　　 ｙ＝ｂsinｔ

　　　　　　　　ｄｘ＝−ａsinｔｄｔ，ｄｙ＝ｂcosｔｄｔ ・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　(２) を (１) に代入、

　　　　　　　　　ｄｚ＝(∂ｙ/ｄｘ)(−ａsinｔｄｔ)＋(∂ｘ/ｄｙ)(ｂcosｔｄｔ)

　　　　　 　ｄｚ/ｄｔ＝(∂ｙ/ｄｘ)(−ａsinｔ)＋(∂ｘ/ｄｙ)(ｂcosｔ)

　　　　上の式に ｔ＝０ を代入、

　　　　　　 (ｄｚ/ｄｔ)ｔ＝０＝(∂ｙ/ｄｘ)ｔ＝０(−ａsin０)＋(∂ｘ/ｄｙ)ｔ＝０(ｂcos０)

　　　　　　　　　　　　　　＝(∂ｘ/ｄｙ)ｔ＝０(ｂ×１)

　　　　　　　　　　　　　　＝ｂ(∂ｘ/ｄｙ)ｔ＝０

　　　　∴　　ｚ'(０)＝ｂ(∂ｘ/ｄｙ)ｔ＝０


注意：この解答は落ちこぼれの大学教授の試験の解答として通じません。





＜例題＞ ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ)，ｘ＝ｒcosθ，ｙ＝ｒsinθ のとき，次の式が成立することを示せ。

            (∂θｚ/ｄｒ)２＋(１/ｒ)２(∂ｒｚ/ｄθ)２＝(∂ｙｚ/ｄｘ)２＋(∂ｘｚ/ｄｙ)２

＜解答＞条件から，ｘ＝ｒcosθ

　　　　　　　　　∂θｘ/ｄｒ＝cosθ、　　∂ｒｘ/ｄθ＝−ｒsinθ

　　　　条件から，ｙ＝ｒsinθ

　　　　　　　　　∂θｙ/ｄｒ＝sinθ、　　∂ｒｙ/ｄθ＝ｒcosθ

　　　　上の式から、

　　　　　　　　 ∂θｚ/ｄｒ＝(∂ｙｚ/ｄｘ)(∂θｘ/ｄｒ)＋(∂ｘｚ/ｄｙ)(∂θｙ/ｄｒ)

　                       ＝(∂ｙｚ/ｄｘ)(cosθ)＋(∂ｘｚ/ｄｙ)(sinθ)･･･････････(１)

　　　　　　　　 ∂ｒｚ/ｄθ＝(∂ｙｚ/ｄｘ)(∂ｒｘ/ｄθ)＋(∂ｘｚ/ｄｙ)(∂ｒｙ/ｄθ)

　                       ＝(∂ｙｚ/ｄｘ)(−ｒsinθ)＋(∂ｘｚ/ｄｙ)(ｒcosθ)

　　　　　　(１/ｒ)(∂ｒｚ/ｄθ)＝−(∂ｙｚ/ｄｘ)(sinθ)＋(∂ｘｚ/ｄｙ)(cosθ)････(２)

        (１)２＋(２)２

              (∂θｚ/ｄｒ)２＋(１/ｒ)２(∂ｒｚ/ｄθ)２

　　　　　　　　　　　＝(∂ｙｚ/ｄｘ)２(cos２θ＋sin２θ)

　　　　　　　　　　　　　　　＋２(∂ｙｚ/ｄｘ)(∂ｘｚ/ｄｙ)cosθsinθ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　−２(∂ｙｚ/ｄｘ)(∂ｘｚ/ｄｙ)cosθsinθ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋(∂ｘｚ/ｄｙ)２(cos２θ＋sin２θ)

　　　　　　　　　　　＝(∂ｙｚ/ｄｘ)２＋(∂ｘｚ/ｄｙ)２

　　　　∴　　(∂θｚ/ｄｒ)２＋(１/ｒ)２(∂ｒｚ/ｄθ)２＝(∂ｙｚ/ｄｘ)２＋(∂ｘｚ/ｄｙ)２



　ここに書かれてあることは，現在の大学に講義されてあるものとかなり

違っていますから注意してください。下の例題と解答ならば試験の答案と

して通じるかも知れません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　






＜例題＞ｘ＝ｒsinθcosψ、ｙ＝ｒsinθsinψ，ｚ＝ｒcosθ のとき、次式を示せ。

　　　　　　　  ∂θψｘ/ｄｒ＝∂ｙｚｒ/ｄｘ，　∂ｒψｘ/ｄθ＝ｒ２(∂ｙｚθ/ｄｘ）

＜解答＞１）∂θψｘ/ｄｒ＝∂ｙｚｒ/ｄｘ を示す。

　　　　　　条件から、ｘ＝ｒsinθcosψ、ｙ＝ｒsinθsinψ，ｚ＝ｒcosθ

　　　　　　　　　∂θψｘ/ｄｒ＝sinθcosψ

　　　　　　ｘ＝ｒsinθcosψ、ｙ＝ｒsinθsinψ，ｚ＝ｒcosθ から、ｒ２＝ｘ２＋ｙ２＋ｘ２

　　　　　　　　　２ｒ∂ｙｚｒ/ｄｘ＝２ｘ

　　　　　　　　　　　∂ｙｚｒ/ｄｘ＝ｘ/ｒ＝ｒsinθcosψ/ｒ＝sinθcosψ

　　　　　　∴　∂θψｘ/ｄｒ＝∂ｙｚｒ/ｄｘ


　　　　２）∂θｒψ/ｄθ＝ｒ２(∂ｙｚθ/ｄｘ) を示す。

　　　　　　条件から、ｘ＝ｒsinθcosψ

　　　　　　　    ∂ｒψｘ/ｄθ＝ｒcosθcosψ

　　　　　　条件から、ｚ＝ｒcosθ，   cosθ＝ｚ/ｒ

　　　　　　　　−sinθ{∂ｙｚθ}/ｄｘ＝{∂ｘ(ｚ/ｒ)}/ｄｘ

　　　　　　　　　　　　　   　　　＝ｚ{∂ｘ(１/ｒ)}/ｄｘ

　　　　　　　　　　　　　   　　　＝−ｚ/ｒ２(∂ｙｚｒ)/ｄｘ

　　　　　　　　　　　　　   　　　＝−ｚ/ｒ２(ｘ/ｒ)

　　　　　　　　　　　　　   　　　＝−ｚ/ｒ２(ｘ/ｒ)

　　　　　　　　　　　　　   　　　＝−ｚｘ/ｒ３

　　　　　　 　　　ｒ２(∂ｙｚθ/ｄｘ)＝ｚｘ/ｒ

                                   ＝ｒcosθｒsinθcosψ/ｒ

                                   ＝ｒcosθcosψ

　　　　　　∴　∂ｒψｘ/ｄθ＝ｒ２(∂ｙｚθ/ｄｘ)





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