例題−８　





＜例題＞次の関数の極値を求めよ。また、求めた極値が最小値であることを示しなさい。

Ｚ＝ｘ２−２ｘｙ＋４ｙ２−２ｘ＋８ｙ
＜解答＞　　　　Ｚ＝ｘ２−２ｘｙ＋４ｙ２−２ｘ＋８ｙ

　　　　　　　ｄＺ＝２ｘｄｚ−２(ｙｄｘ＋ｘｄｙ)＋８ｙｄｙ−２ｄｘ＋８ｄｙ

　　　　　　　　　＝(２ｘ−２ｙ−２)ｄｘ＋(−２ｘ＋８ｙ＋８)ｄｙ

　　　　　　　　　＝２(ｘ−ｙ−１)ｄｘ＋２(−ｘ＋４ｙ＋４)ｄｙ

　　　　Ｚ が極値であるには、ｄＺ＝０

　　　　　　　　　０＝２(ｘ−ｙ−１)ｄｘ＋２(−ｘ＋４ｙ＋４)ｄｙ

　　　　　　　　　　＝(ｘ−ｙ−１)ｄｘ＋(−ｘ＋４ｙ＋４)ｄｙ

　　　　上の式から、ｘ−ｙ−１＝ｘ＋４ｙ＋４＝０

　　　　　　　　　　　　　ｘ＝０、ｙ＝−１　　

　　　　このとき、Ｚ＝ｘ２−２ｘｙ＋４ｙ２−２ｘ＋８ｙ

　　　　　　　　　　＝０２−２×０×(−１)＋４×(−１)２−２×０＋８×(−１)

　　　　　　　　　　＝−４

　　　　以上により、ｘ＝０、ｙ＝−１ で Ｚ は極値となる。　

　　　　　　　Ｚ−(−４)＝ｘ２−２ｘｙ＋４ｙ２−２ｘ＋８ｙ＋４

　　　　　　　　　　　　＝ｘ２−２(ｙ＋１)ｘ＋４ｙ２＋８ｙ＋４

　　　　　　　　　　　　＝ｘ２−２(ｙ＋１)ｘ＋(ｙ＋１)２＋４ｙ２＋８ｙ＋４−(ｙ＋１)２　

　　　　　　　　　　　　＝ｘ２−２(ｙ＋１)ｘ＋(ｙ＋１)２＋３ｙ２＋６ｙ＋３

　　　　　　　　　　　　＝(ｘ−ｙ−１)２＋３(ｙ２＋２ｙ＋１)

　　　　　　　　　　　　＝(ｘ−ｙ−１)２＋３(ｙ＋１)２≧０

　　　　　　　　　　　Ｚ≧−４

　　　　上の式より、ｘ＝０、ｙ＝−１ で Ｚ は極値となり、かつ、最小値となる。　





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