例　題　





＜例題＞関数 ｚ＝ｘ(１−ｘ)ｙ(１−ｙ)/(１−ｘｙ) の最大値を求めよ。

＜解答＞     ｚ＝ｘ(１−ｘ)ｙ(１−ｙ)/(１−ｘｙ)  ･･････････････････････････････(１)

　　　　(１) より、

            ∂ｙｚ/∂ｘ＝[{ｘ(１-ｘ)ｙ(１-ｙ)}'(１-ｘｙ)

                                        −ｘ(１-ｘ)ｙ(１-ｙ)(１-ｘｙ)']/(１-ｘｙ)２

                  　  ＝[{(１−２ｘ)ｙ(１−ｙ)}(１−ｘｙ)

                                        −ｘ(１−ｘ)ｙ(１−ｙ)(−ｙ)]/(１−ｘｙ)２

            (∂ｙｚ/∂ｘ)(１−ｘｙ)２

　　　　　　　　　　　＝ｙ(１−ｙ){(１−２ｘ)(１−ｘｙ)−ｘ(１−ｘ)(−ｙ)}

　　　　　　　　　　　＝ｙ(１−ｙ){(１−２ｘ)(１−ｘｙ)＋ｘｙ(１−ｘ)}

　　　　　　　　　　　＝ｙ(１−ｙ)(１−ｘｙ−２ｘ＋２ｘ２ｙ＋ｘｙ−ｘ２ｙ)

　　　　　　　　　　　＝ｙ(１−ｙ)(１−２ｘ＋ｘ２ｙ)   ････････････････････････  (２)

　　　　(１) より、同様にして、

              (∂ｘｚ/∂ｙ)(１−ｘｙ)２＝ｘ(１−ｘ)(１−２ｙ＋ｙ２ｘ)･････････････(３)

　　　　∂ｙｚ/∂ｘ＝∂ｘｚ/∂ｙ＝０ とおくと、０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜１ であるから、

                 １−２ｘ＋ｘ２ｙ＝０

                 １−２ｙ＋ｙ２ｘ＝０

　　　　上の２つの式より、−２ｘ＋２ｙ＋ｘ２ｙ−ｙ２ｘ＝０

                          −２(ｘ−ｙ)＋ｘｙ(ｘ−ｙ)＝０

                               (ｘ−ｙ)(−２＋ｘｙ)＝０

                               ｘ＝ｙ （∵  ０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜１ より、ｘｙ≠２）

　　　　ｘ＝ｙ を １−２ｘ＋ｘ２ｙ＝０ に代入、

                      １−２ｘ＋ｘ３＝０

              (ｘ２＋ｘ−１)(ｘ−１)＝０

                      (ｘ２＋ｘ−１)＝０               （  ∵  ０＜ｘ＜１）

                                 ｘ＝(−１＋５１/２)/２ （  ∵  ０＜ｘ＜１）

　　　　ｘ＝ｙ から、             ｙ＝(−１＋５１/２)/２

　　　　５１/２＝ａ とおくと、上の２つの式より、  ｘ＋ｙ＝−１＋ａ，  ｘｙ＝(３−ａ)/２

　　　　上の式より、ｚ＝ｘ(１−ｘ)ｙ(１−ｙ)/(１−ｘｙ)

                      ＝ｘｙ{１−(ｘ＋ｙ)＋ｘｙ}/(１−ｘｙ)

                      ＝{(３−ａ)/２}{１−(−１＋ａ)＋(３−ａ)/２}/{１−(３−ａ)/２}

                      ＝(３−ａ){１−(−１＋ａ)＋(３−ａ)/２}/{２−(３−ａ)｝

                  ２ｚ＝(３−ａ){２−(−２＋２ａ)＋(３−ａ)}/(−１＋ａ)

                      ＝(３−ａ)(７−３ａ)/(−１＋ａ)

                      ＝(３−ａ)(７−３ａ)(−１−ａ)/(−１＋ａ)(−１−ａ)

                      ＝(３−ａ)(７−３ａ)(−１−ａ)/(１−ａ２)

                      ＝(３−ａ)(７−３ａ)(−１−ａ)/(１−５)

                      ＝(３−ａ)(７−３ａ)(１＋ａ)/４

                  ８ｚ＝(３−ａ)(７−３ａ)(１＋ａ)

                      ＝３ａ３−１３ａ２＋５ａ＋２１

                      ＝３×５×５１/２−１３×５＋５×５１/２＋２１

                      ＝２０×５１/２−４４

                    ｚ＝(５×５１/２−１１)/２＝０.０９０１７０ 

　　　　０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜１ の範囲の両端で ｚ＝０ であり極点は一つしかないので，

　　　　ｚ＝(５×５１/２−１１)/２ が最大値となる。 

             （答） 最大値  (５×５１/２−１１)/２ （ｘ＝ｙ＝(−１＋５１/２)/２）





 
＜例題＞α＞０、β＞０、＞０、α＋β＋γ＝π　のとき、Ｚ＝sinα×sinβ×sinγ　の最大

　　　　値を求めよ。

＜解答＞条件より、α＋β＋γ＝π

　　　　　　　　  　　　γ＝π−α−β

　　　　上の式を Ｚ＝sinα×sinβ×sinγ に代入、

　　　　 　　　　Ｚ＝sinα×sinβ×sin(π−α−β)＝sinα×sinβ×sin(α＋β)

              ∂Ｚ/∂α＝cosα×sinβ×sin(α＋β)

　　　　　　　　　　　　　　　　　＋sinα×sinβ×cos(α＋β)×∂(α＋β)/∂α

　　　　　　　　　　 　＝cosα×sinβ×sin(α＋β)＋sinα×sinβ×cos(α＋β)

              ∂Ｚ/∂β＝sinα×cosβ×sin(α＋β)

　　　　　　　　　　　　　　　　　＋sinα×sinβcos(α＋β)×∂(α＋β)/∂β

　　　　　　　　　　 　＝sinα×cosβ×sin(α＋β)＋sinα×sinβ×cos(α＋β)

　　　　∂Ｚ/∂α＝∂Ｚ/∂β＝０ とおくと、

           cosα×sinβ×sin(α＋β)＋sinα×sinβ×cos(α＋β)

　　　　　　　　　　　　　＝sinα×cosβ×sin(α＋β)＋sinα×sinβ×cos(α＋β)

       　 cosα×sinβ×sin(α＋β)

　　　　　　　　　　　　　＝sinα×cosβ×sin(α＋β)

　　　　　　　cosα×sinβ＝sinα×cosβ

　　　　　　　 sinα/cosα＝sinβ/cosβ

                     tanα＝tanβ

                        α＝β

  　　　β、γ　を独立変数とすれば、同様にして、β＝γ　

　　　　∴　α＝β＝γ　のとき、極値となる。そして、α＞０、β＞０、＞０、α＋β＋γ＝π

　　　　　　から最大にもなる。

　　　　α＝β＝γ、α＋β＋γ＝π　から、α＝β＝γ＝π/３

　　　　　    　　　　Max(ｚ)＝sin(π/３)×sin(π/３)×sin(π/３)＝３・３１/２/８



＜別解＞Ｚ＝sinα×sinβ×sinγ　から、

              ∂Ｚ/∂α＝cosα×sinβ×sinγ

              ∂Ｚ/∂β＝sinα×cosβ×sinγ

              ∂Ｚ/∂γ＝sinα×sinβ×cosγ

　　　　α＋β＋γ＝π　から、α＋β＋γ−π＝０

　　　　　　　∂(α＋β＋γ−π)/∂α

　　　　　　　　　　　　＝∂(α＋β＋γ−π)/∂β

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∂(α＋β＋γ−π)/∂γ＝１

　　　　上の式から、Ｚ が極値となるところは、次式が成立する。

　　　　　　cosα×sinβ×sinγ＝λ×１

　　　　　　sinα×cosβ×sinγ＝λ×１

　　　　　　sinα×sinβ×cosγ＝λ×１

　　　　上の式から、α＝β＝γ

　　　　上の式と α＋β＋γ＝π　から、α＝β＝γ＝π/３

　　　　α＞０、β＞０、＞０、α＋β＋γ＝π から最大にもなる。

　　　　　    　　　　Max(ｚ)＝sin(π/３)×sin(π/３)×sin(π/３)＝３・３１/２/８
                                                              




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