例　題





＜例題＞半径 ｒ の円の面積を求めよ。

＜解答＞半径 ｒ，中心角 θ の扇形の面積を ｓ(ｒ，θ) とする。

        ｒ＝(ａｎ，ｂｎ），θ＝(ｃｎ，ｄｎ）とし，

        ｓ(ａｎ，ｂｎ)＝ｐ０＋ｐ１１(ａｎ−ｒ)＋ｐ１２(ｂｎ−θ)＋･･･   ･･･････････ (１)

        ｓ(ｃｎ，ｄｎ)＝ｐ０＋ｐ１１(ｃｎ−ｒ)＋ｐ１２(ｄｎ−θ)＋･･･   ･･･････････ (２)

        とすると， 

        (１) に ａｎ＝ｒ，ｂｎ＝θ を代入して，ｓ(ｒ，θ)＝ｐ０

        上の式より，

            ｓ(ａｎ，ｂｎ)＝ｓ(ｒ，θ)＋ｐ１１(ａｎ−ｒ)＋ｐ１２(ｂｎ−θ)＋･･･

        どんな大きい ｎ に対しても成立するには，ｐ１２＝(１/２)ｒ２

                                ｓ(ｒ，ｂｎ)−ｓ(ｒ，θ)＝(１/２)ｒ２(ｂｎ−θ)＋･･･

                    {ｓ(ｒ，ｂｎ)−ｓ(ｒ，θ)}/(ｂｎ−θ)＝(１/２)ｒ２＋･･･

         同様にして，{ｓ(ｒ，ｄｎ)−ｓ(ｒ，θ)}/(ｄｎ−θ)＝(１/２)ｒ２＋･･･

             ∂ｓ(ｒ，θ)/∂θ＝{(１/２)ｒ２＋･･･，(１/２)ｒ２＋･･･}

                             ＝(１/２)(ｒ２，ｒ２)

                             ＝(１/２)ｒ２

             ∂{∂ｓ(ｒ，θ)/∂θ}/∂ｒ＝(１/２)(２ｒ)＝ｒ

                      ∂ｓ(ｒ，θ)/∂θ＝∫ｒｄｒ

                             ｓ(ｒ，θ)＝∫(∫ｒｄｒ)ｄθ

                                       ＝∬ｒｄｒｄθ



２回目の微分は全く無駄である。

ここは重積分の例題として選んだからこうなったのである。





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