例　題　





＜例題＞次の等式を示せ。                                 

　　　　１）　∬ｃｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ＝ｃ∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ　　　（ｃ は実数）

　　　　２）　|∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ|≦∬|ｆ(ｘ，ｙ)|ｄｘｄｙ

＜解答＞１）を示す。

　　　　　　　∬ｃｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ＝∫{∫ｃｆ(ｘ，ｙ)ｄｘ}ｄｙ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∫{ｃ∫ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘ}ｄｙ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∫ｃ{∫ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘ}ｄｙ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｃ∫{∫ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘ}ｄｙ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｃ∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ

　　　　　　∴　　∬ｃｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ＝ｃ∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ

　　　　２）を示す。

　　　　　　全体の積分領域が Ｄ，この積分領域の中の

　　　　　　Ｂ で ｆ(ｘ，ｙ)≧０、Ｃ で ｆ(ｘ，ｙ)≦０ とする。

　　　　　　　　∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ＝Ｉ，　∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ＝−Ｊ と置くと，
　　　　　　　　Ｂ　　　　　　　　　　　　　 Ｃ
                Ｉ≧０，Ｊ≧０

                |∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ|＝|∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ＋∬ｆ(ｘ，ｙ)|ｄｘｄｙ
　　　　　　　　Ｄ　　　　　　　　       Ｂ　　　　　　        Ｃ
 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝|Ｉ−Ｊ|・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

                ∬|ｆ(ｘ，ｙ)|ｄｘｄｙ＝∬|ｆ(ｘ，ｙ)|ｄｘｄｙ＋∬|ｆ(ｘ，ｙ)|ｄｘｄｙ
　　　　　　　  Ｄ　　　　　　　　       Ｂ　　　　　　          Ｃ
 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ＋∬{−ｆ(ｘ，ｙ)}ｄｘｄｙ
　　　　　　　　　　　       　　　　　 Ｂ　　　　　　         Ｃ
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ−∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ
　　　　　　　　　　　       　　　　　 Ｂ　　　　　           Ｃ
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝Ｉ−(−Ｊ)

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝Ｉ＋Ｊ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　　　(１)、(２）より、|∬ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘｄｙ|≦∬|ｆ(ｘ，ｙ)|ｄｘｄｙ

               　 　∵　|Ｉ−Ｊ|≦Ｉ＋Ｊ、Ｉ＝０ or Ｊ＝０ のとき、等号が成立する。





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