例題−14　





＜例題＞ｘ，ｙ，ｚ が条件式 ｇ(ｘ，ｙ，ｚ)＝０ を満たすとき、Ｓ＝ｆ(ｘ，ｙ，ｚ) が極値

　　　　となる必要十分条件は次式であることを示せ。

             (∂ｙｚｆ/ｄｘ，∂ｚｘｆ/ｄｙ，∂ｘｙｆ/ｄｚ)

　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ・(∂ｙｚｇ/ｄｘ，∂ｚｘｇ/ｄｙ，∂ｘｙｇ/ｄｚ)

＜解答＞条件式より、ｇ(ｘ，ｙ，ｚ)＝０

　　　　　　{∂ｙｚｇ/ｄｘ}ｄｘ＋{∂ｚｘｇ/ｄｙ}ｄｙ＋{∂ｘｙｇ/ｄｚ}ｄｚ＝０・・・(１）

　　　　条件式より、Ｓ＝ｆ(ｘ，ｙ，ｚ) 

        　　 ｄＳ＝{∂ｙｚｆ/ｄｘ}ｄｘ＋{∂ｚｘｆ/ｄｙ}ｄｙ＋{∂ｘｙｆ/ｄｚ}ｄｚ

　　　　Ｓ が極値であるには、ｄＳ＝０

　　　　 　{∂ｙｚｆ/ｄｘ}ｄｘ＋{∂ｚｘｆ/ｄｙ}ｄｙ＋{∂ｘｙｆ/ｄｚ}ｄｚ＝０・・・（２）

　　　　(１)×{∂ｘｙｆ/ｄｚ}−(２)×{∂ｘｙｇ/ｄｚ}

             {(∂ｙｚｇ/ｄｘ)(∂ｘｙｆ/ｄｚ)

　　　　　　　　　　−(∂ｙｚｆ/ｄｘ)(∂ｘｙｇ/ｄｚ)}ｄｘ

             　　　       ＋{(∂ｚｘｇ/ｄｙ)(∂ｘｙｆ/ｄｚ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　−(∂ｚｘｆ/ｄｙ)(∂ｘｙｇ/ｄｚ)}ｄｙ＝０

　　　　ｘ，ｙ は独立であるから、

             (∂ｙｚｇ/ｄｘ)(∂ｘｙｆ/ｄｚ)−(∂ｙｚｆ/ｄｘ)(∂ｘｙｇ/ｄｚ)＝０

         　　(∂ｚｘｇ/ｄｙ)(∂ｘｙｆ/ｄｚ)−(∂ｚｘｆ/ｄｙ)(∂ｘｙｇ/ｄｚ)＝０

　　　　上の式より、

　　　　 　　(∂ｙｚｆ/ｄｘ)：(∂ｘｙｆ/ｄｚ)＝(∂ｙｚｇ/ｄｘ)：(∂ｘｙｇ/ｄｚ)

　　　　 　  (∂ｚｘｆ/ｄｙ)：(∂ｘｙｆ/ｄｚ)＝(∂ｚｘｇ/ｄｙ)：(∂ｘｙｇ/ｄｚ)

　　　　上の式より、

　　　　　  　 (∂ｙｚｆ/ｄｘ)：(∂ｚｘｆ/ｄｙ)：(∂ｘｙｆ/ｄｚ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∂ｙｚｇ/ｄｘ)：(∂ｚｘｇ/ｄｙ)：((∂ｘｙｇ/ｄｚ)

　　　　∴　 (∂ｙｚｆ/ｄｘ，∂ｚｘｆ/ｄｙ，∂ｘｙｆ/ｄｚ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｋ・(∂ｙｚｇ/ｄｘ，∂ｚｘｇ/ｄｙ，∂ｘｙｇ/ｄｚ)


補　　　　　足

変数 ｘ，ｙ が独立で ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘ＋ｇ(ｘ，ｙ)ｄｙ＝０ ならば,

ｆ(ｘ，ｙ)＝ｇ(ｘ，ｙ)＝０

∵　　  ｄｘ/ｄｙ＝０、　 ｄｙ＝０×ｄｘ

ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘ＋ｇ(ｘ，ｙ)×０×ｄｘ＝０

　　ｆ(ｘ，ｙ)ｄｘ＝０

　　    ｆ(ｘ，ｙ)＝０

同様に  ｇ(ｘ，ｙ)＝０





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