例題−15　





＜例題＞関数 ｚ＝ｆ(ｘ、ｙ）の ｚ の値が ｘｙ の値だけによって決まるための必要十分条件

　　　　は次式であることを示せ。　    ｘ(∂ｚ/ｄｘ)＝ｙ(∂ｚ/ｄｙ)

＜解答＞イ）ｚ＝ｆ(ｘ、ｙ）が (ｘｙ) だけの関数とする。

　　　　　　　ｚ＝ａ＋ｂ(ｘｙ)＋ｃ(ｘｙ)２＋・・・

　　　　　　　∂ｚ/ｄｘ＝１×ｂ×ｙ＋２×ｃ(ｘｙ)１×ｙ＋・・・　　・・・・・・・（１）

　　　　　　　∂ｚ/ｄｙ＝１×ｂ×ｘ＋２×ｃ(ｘｙ)１×ｘ＋・・・　　・・・・・・・（２）

　　　　　　(１)×ｘ−(２)×ｙ

　　　　　　　　　　　ｘ(∂ｚ/ｄｘ)−ｙ(∂ｚ/ｄｙ)＝０

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　ｘ(∂ｚ/ｄｘ)＝ｙ(∂ｚ/ｄｙ)

　　　　ロ）ｘ(∂ｚ/ｄｘ)＝ｙ(∂ｚ/ｄｙ) とする。

　　　　　　　ｚ に ｘｙ で決まらない項が一つでもあるとすると、

　　　　　　　ｚ＝ｆ(ｘ、ｙ)＋ｋ(ｘｍｙｎ)＋・・・　　　但し、ｍ≠ｎ

　　　　　　　∂ｚ/ｄｘ＝１×ｂ×ｙ＋２×ｃ(ｘｙ)１×ｙ＋・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｋｍ(ｘｍ−１ｙｎ)　・・・・・・・・・（３）

　　　　　　　∂ｚ/ｄｙ＝１×ｂ×ｘ＋２×ｃ(ｘｙ)１×ｘ＋・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｋｎ(ｘｍｙｎ−１)　・・・・・・・・・（４）

　　　　　　ｘ(∂ｚ/ｄｘ)＝ｙ(∂ｚ/ｄｙ) から、

　　　　　　　１×ｂ×ｙｘ＋２×ｃ(ｘｙ)１×ｙｘ＋・・・＋ｘｋｍ(ｘｍ−１ｙｎ)

　　　　　　　　　　　＝１×ｂ×ｘｙ＋２×ｃ(ｘｙ)１×ｘｙ＋・・・＋ｙｋｎ(ｘｍｙｎ−１)

　　　　　　　ｘ×ｋｍ(ｘｍ−１ｙｎ)

　　　　　　　　　　　＝ｙ×ｋｎ(ｘｍｙｎ−１)

　　　　　　　ｋｍ(ｘｍｙｎ)

　　　　　　　　　　　＝ｋｎ(ｘｍｙｎ)

　　　　　　　ｍ(ｘｍｙｎ)

　　　　　　　　　　　＝ｎ(ｘｍｙｎ)

　　　　　　　　　　ｍ＝ｎ

　　　　　　これは矛盾であるから、ｚ に ｘｙ だけで決まらない項が一つもない。

　　　　　　∴　　ｚ は ｘｙ の関数である。

　　　　イ)、ロ）から、

　　　　　　ｚ の値が ｘｙ の値だけによって決まるための必要十分条件は

　　　　　　ｘ(∂ｚ/ｄｘ)＝ｙ(∂ｚ/ｄｙ) である。



この証明は「関数とは級数展開式なり」を前提としています。

ｚ＝ｐ０＋ｐ１，０ｘ＋ｐ０，１ｙ＋ｐ２，０ｘ２＋ｐ１，１ｘｙ＋ｐ０，２ｙ２＋・・・

を関数といい，これを ｚ＝ｆ(ｘ，ｙ) とかき，収束する ｘ，ｙ の範囲でのみ使える

ものとする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


関数とは何か？　ｄｘ、ｄｙ、∂ｚ とは何か？

　ここを定義してかからないと、ちゃんとした微積分を構築することは決

して出来ません。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　





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