＜定義−３＞
１） ｄＦ(Ｚ)/ｄＺ＝ｄＦ(Ｚ)÷ｄＺ （複ベクトルを複ベクトルで微分）
２） ｄＦ(Ｚ)/ｄｔ＝ｄＦ(Ｚ)÷ｄｔ （ベクトルを実数で微分）
「微分とは ｄｙ÷ｄｘ なり」このベクトル版です。
＜定理−７＞ｄ(ｘ、ｙ)/ｄｔ＝(ｄｘ/ｄｔ、ｄｙ/ｄｔ)
＜証明＞ ｄ(ｘ、ｙ)/ｄｔ＝(ｄｘ、ｄｙ)÷ｄｔ
＝(ｄｘ/ｄｔ，ｄｙ/ｄｔ)
∴ ｄ(ｘ、ｙ)/ｄｔ＝(ｄｘ/ｄｔ、ｄｙ/ｄｔ)
＜定理−８＞Ｆ(Ｚ)＝ａ０Ｚ０＋ａ１Ｚ１＋ａ２Ｚ２＋・・・＝(ｕ，ｖ)、Ｚ＝(ｘ、ｙ) のとき、
ｕ，ｖ は次式である。
ｕ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２(ｘ２−ｙ２)＋ａ３(ｘ３−３ｘｙ２)
＋ａ４(ｘ４−６ｘ２ｙ２＋ｙ４)＋・・
ｖ＝ａ１ｙ＋ａ２(２ｘｙ)＋ａ３(３ｘ２ｙ−ｙ３)
＋ａ４(４ｘ３ｙ−４ｘｙ３)＋・・・
＜証明＞条件より、
(ｕ，ｖ)＝ａ０Ｚ０＋ａ１Ｚ１＋ａ２Ｚ２＋ａ３Ｚ３
＋ａ４Ｚ４＋・・・
＝ａ０(ｘ、ｙ)０＋ａ１(ｘ、ｙ)１＋ａ２(ｘ、ｙ)２＋ａ３(ｘ、ｙ)３
＋ａ４(ｘ、ｙ)４＋・・
＝{ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２(ｘ２−ｙ２)＋ａ３(ｘ３−３ｘｙ２)＋・・・
，ａ１ｙ＋ａ２(２ｘｙ)＋ａ３(３ｘ２ｙ−ｙ３)＋・・・}
上の式より、ｕ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２(ｘ２−ｙ２)＋ａ３(ｘ３−３ｘｙ２)＋・・・
ｖ＝ａ１ｙ＋ａ２(２ｘｙ)＋ａ３(３ｘ２ｙ−ｙ３)
＋ａ４(４ｘ３ｙ−４ｘｙ３)＋・・・
＜系−１＞∂ｙｕ/ｄｘ＝∂ｘｖ/ｄｙ、−∂ｘｕ/ｄｙ＝∂ｙｖ/ｄｘ
＜証明＞ｕ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２(ｘ２−ｙ２)＋ａ３(ｘ３−３ｘｙ２)
＋ａ４(ｘ４−６ｘ２ｙ２＋ｙ４)＋・ から，
∂ｙｕ/ｄｘ＝ａ１＋ａ２(２ｘ)＋ａ３(３ｘ２−３ｙ２)
＋ａ４(４ｘ３−１２ｘｙ２)＋・・・
∂ｘｕ/ｄｙ＝ａ２(−２ｙ)＋ａ３(−６ｘｙ)
＋ａ４(−１２ｘｙ２＋４ｙ３)＋・・・
ｖ＝ａ１ｙ＋ａ２(２ｘｙ)＋ａ３(３ｘ２ｙ−ｙ３)
＋ａ４(４ｘ３ｙ−４ｘｙ３)＋・・・ から、
∂ｙｖ/ｄｘ＝ａ２(２ｙ)＋ａ３(６ｘｙ)＋ａ４(１２ｘ２ｙ−４ｙ３)＋・・・
∂ｘｖ/ｄｙ＝ａ１＋ａ２(２ｘ)＋ａ３(３ｘ２−３ｙ２)
＋ａ４(４ｘ３−１２ｘｙ２)＋・・・
上の式から、∂ｙｕ/ｄｘ＝∂ｘｖ/ｄｙ、−∂ｘｕ/ｄｙ＝∂ｙｖ/ｄｘ
コーシ−、リーマンの関係式の証明です？？？
「関数を級数展開式である」と定義をしておけば、コーシ−、リーマンの関係式
ちゃんとが証明が出来ます。つまり、全ての関数が微分可能ですから、ここでは微
分可能か否か、正則関数かどうか，を一切問題にしません。
＜定理−９＞Ｗ＝(ｕ，ｖ)，Ｚ＝(ｘ，ｙ) のとき、
ｄＷ÷ｄＺ＝∂ｙ・Ｗ/ｄｘ＝−∂ｘ＊Ｗ/ｄｙ
＜証明＞ ｄＺ＝ｄ(ｘ，ｙ)＝(ｄｘ，ｄｙ)
ｄＷ＝ｄ(ｕ，ｖ)＝(ｄｕ，ｄｖ)
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘｕ/ｄｙ)ｄｙ
，(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘｖ/ｄｙ)ｄｙ}
上の式から、
ｄＷ÷ｄＺ
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘｕ/ｄｙ)ｄｙ
，(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘｖ/ｄｙ)ｄｙ}÷(ｄｘ、ｄｙ)
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘｕ/ｄｙ)ｄｙ
，(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘｖ/ｄｙ)ｄｙ}
×(ｄｘ、−ｄｙ)÷(ｄｘ２＋ｄｙ２)
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘ２＋(∂ｘｕ/ｄｙ)ｄｙｄｘ
＋(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘｄｙ＋(∂ｘｖ/ｄｙ)ｄｙ２
，−(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘｄｙ−(∂ｘｕ/ｄｙ)ｄｙ２
＋(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘ２＋(∂ｘｖ/ｄｙ)ｄｙｄｘ}
÷(ｄｘ２＋ｄｙ２)
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘ２＋(∂ｘｖ/ｄｙ)ｄｙ２
＋(∂ｘｕ/ｄｙ)ｄｙｄｘ＋(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘｄｙ
，(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘ２−(∂ｘｕ/ｄｙ)ｄｙ２
＋(∂ｘｖ/ｄｙ)ｄｙｄｘ−(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘｄｙ}
÷(ｄｘ２＋ｄｙ２)
定理−８ 系−１ より、∂ｙｕ/ｄｘ＝∂ｘｖ/ｄｙ、−∂ｘｕ/ｄｙ＝∂ｙｖ/ｄｘ から、
ｄＷ÷ｄＺ＝{(∂ｙｕ/ｄｘ)(ｄｘ２＋ｄｙ２)，(∂ｙｖ/ｄｘ)(ｄｘ２＋ｄｙ２)}
÷(ｄｘ２＋ｄｙ２)
＝(∂ｙｕ/ｄｘ，∂ｙｖ/ｄｘ)
＝∂ｙ・Ｗ/ｄｘ
＝−∂ｘ＊Ｗ/ｄｙ
正面から強行突破、これは大変ですねぇ、分かりますか・・・？
＜系−１＞Ｗ＝(ｕ，ｖ)，Ｚ＝(ｘ，ｙ) のとき、次式が成立する。
ｄＷ＝{(∂ｙｕ/ｄｘ，∂ｘｕ/ｄｙ)，(∂ｙｖ/ｄｘ，∂ｘｖ/ｄｙ)}・ｄＺ
＜証明＞ｄＷ＝∂ｙＷ＋∂ｘＷ
＝(∂ｙｕ，∂ｙｖ)＋(∂ｘｕ，∂ｘｖ)
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘｕ/ｄｙ)ｄｙ
，(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘ＋(∂ｘｖ/ｄｙ)ｄｙ}
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ，∂ｘｕ/ｄｙ)，(∂ｙｖ/ｄｘ，∂ｘｖ/ｄｙ)}・(ｄｘ，ｄｙ)
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ，∂ｘｕ/ｄｙ)，(∂ｙｖ/ｄｘ，∂ｘｖ/ｄｙ)}・ｄＺ
＜系−２＞Ｗ＝(ｕ，ｖ)，Ｚ＝(ｘ，ｙ) のとき、
ｄＷ÷ｄＺ＝∂ｙ・Ｗ/ｄｘ＝−∂ｘ＊Ｗ/ｄｙ
＜証明＞系−１ から、
ｄＷ＝{(∂ｙｕ/ｄｘ，∂ｘｕ/ｄｙ)，(∂ｙｖ/ｄｘ，∂ｘｖ/ｄｙ)}・ｄＺ
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ，−∂ｙｖ/ｄｘ)，(∂ｙｖ/ｄｘ，∂ｙｕ/ｄｘ)}
・(ｄｘ，ｄｙ)
＝{(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｘ−(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｙ
，(∂ｙｕ/ｄｘ)ｄｙ＋(∂ｙｖ/ｄｘ)ｄｘ}
＝(∂ｙｕ/ｄｘ，∂ｙｖ/ｄｘ)×(ｄｘ，ｄｙ)
＝(∂ｙｕ/ｄｘ，∂ｙｖ/ｄｘ)×ｄＺ
ｄＷ÷ｄＺ＝(∂ｙｕ/ｄｘ，∂ｙｖ/ｄｘ)＝(∂ｘｖ/ｄｙ、−∂ｘｕ/ｄｙ)
＝∂ｙ・(ｕ，ｖ)/ｄｘ＝−∂ｘ＊(ｕ，ｖ)/ｄｙ
＝∂ｙ・Ｗ/ｄｘ＝−∂ｘ＊Ｗ/ｄｙ
注 意
{(ａ，−ｂ)，(ｂ，ａ)}・(ｘ，ｙ)＝(ａｘ−ｂｙ，ｂｘ＋ａｙ)
＝(ａ，ｂ)×(ｘ，ｙ) を使っています。
大学の関数論では、∂ｙ・Ｗ/ｄｘ、−∂ｘ＊Ｗ/ｄｙ を使い、ｄＷ÷ｄＺ を使いま
せん。何となく気分が悪い・・・。ちゃんとした本道があっても、まぁ、時には、こん
な横道を通っても、ガソリン代の節約になるから、ズルしても構いませんよ・・・・？
こんなことになっていません。
日本には、何と情けないことに、コーシー、リーマンの権威に圧倒され、
文句を言える数学者が誕生しませんでした。
＜定理−10＞Ｗ＝ａ０Ｚ０＋ａ１Ｚ１＋ａ２Ｚ２＋・・・のとき、次式が成立する。
ｄＷ/ｄＺ＝１ａ１Ｚ０＋２ａ２Ｚ１＋・・・
＜証明＞ 省略 常微分と同じです。
＜定理−11＞Ｚ１＝Ｇ１(ｔ)，Ｚ２＝Ｇ２(ｔ)、Ｇ１(ｔ０)＝Ｇ２(ｔ０) を Ｗ＝Ｆ(Ｚ) によ
って変換し、Ｗ１＝Ｆ{Ｇ１(ｔ)}、Ｗ２＝Ｆ{Ｇ２(ｔ)} とする。
ｔ＝ｔ０ のとき、arg{ｄＺ１/ｄＺ２}＝arg{ｄＷ１/ｄＷ２} が成立することを
示せ。
＜証明＞Ｗ１＝Ｆ(Ｚ１)＝Ｆ{Ｇ１(ｔ)} から、
ｄＷ１＝Ｆ'{Ｇ１(ｔ)}×Ｇ１'(ｔ)ｄｔ
ｄＷ１/ｄｔ＝Ｆ'{Ｇ１(ｔ)}×Ｇ１'(ｔ)
ｔ＝ｔ０ のとき、ｄＷ１/ｄｔ＝Ｆ'{Ｇ１(ｔ０)}×Ｇ１'(ｔ０)
同様にして、 ｄＷ２/ｄｔ＝Ｆ'{Ｇ２(ｔ０)}×Ｇ２'(ｔ０)
上の式から、
ｄＷ１÷ｄＷ２＝ｄＷ１/ｄｔ÷ｄＷ２/ｄｔ
＝Ｆ'{Ｇ１(ｔ０)}×Ｇ１'(ｔ０)÷Ｆ'{Ｇ２(ｔ０)}×Ｇ２'(ｔ０)
＝Ｇ１'(ｔ０)÷Ｇ２'(ｔ０) ∵ Ｇ１(ｔ０)＝Ｇ２(ｔ０)
＝ｄＺ１÷ｄＺ１
arg{ｄＺ１/ｄＺ２}＝arg{ｄＷ１/ｄＷ２}
これはちょっと怪しい，
この証明では、arg() だけでなく amp( ) も Log( ) も良いことになる。
これで「等角写像」とは言うのは・・・？？？。
誰か助けて！！！
＜定理−12＞
１） Ｆ(θ)＝Ａ０＋Ａ１θ１＋Ａ２θ２＋Ａ３θ３ ＋･･･ のとき、次式を示せ。
Ａ０＝Ｆ(０)、 １！・Ａ１＝Ｆ'(０)、 ２！・Ａ２＝Ｆ''(０)， ・・・
２） Ｆ(Ｚ)＝Ａ０＋Ａ１Ｚ１＋Ａ２Ｚ２＋Ａ３Ｚ３ ＋･･･ のとき、次式を示せ。
Ａ０＝Ｆ(◎)， １！・Ａ１＝Ｆ'(◎)， ２！・Ａ２＝Ｆ''(◎)， ・・・
＜証明＞１）を示す。
条件から、Ｆ(θ)＝Ａ０＋Ａ１θ１＋Ａ２θ２＋Ａ３θ３ ＋･･･ ･････････････(１)
(１）に θ＝０ を代入、
Ｆ(０)＝Ａ０＋Ａ１０１＋Ａ２０２＋Ａ３０３ ＋･･･
＝Ａ０
(１）を微分すると、
Ｆ'(θ)＝１Ａ１θ０＋２Ａ２θ１＋３Ａ３θ２ ＋･･･
上の式に θ＝０ を代入、
Ｆ'(０)＝１Ａ１θ０＋２Ａ２０１＋３Ａ３０２ ＋･･･
＝１Ａ１
以下同様にして、
Ｆ''(０) ＝２！・Ａ２
Ｆ'''(０)＝３！・Ａ３
・・・・・・・・
Ｆ(ｎ)(０)＝ｎ！・Ａｎ
２）を示す。
条件から、Ｆ(Ｚ)＝Ａ０＋Ａ１Ｚ１＋Ａ２Ｚ２＋Ａ３Ｚ３ ＋･･･ ･･････････（２)
(１）に Ｚ＝◎ を代入、
Ｆ(◎)＝Ａ０＋Ａ１◎１＋Ａ２◎２＋Ａ３◎３ ＋･･･
＝Ａ０
(１）を微分すると、
Ｆ'(Ｚ)＝１・Ａ１Ｚ０＋２・Ａ２Ｚ１＋３・Ａ３Ｚ２ ＋･･･
(２）に Ｚ＝◎ を代入、
Ｆ'(◎)＝１・Ａ１◎０＋２・Ａ２◎１＋３・Ａ３◎２ ＋･･･
＝１・Ａ１
以下同様にして、
Ｆ''(◎) ＝２！・Ａ２
Ｆ'''(◎)＝３！・Ａ３
・・・・・・・・
Ｆ(ｎ)(◎)＝ｎ！・Ａｎ
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