体系−２　





＜定理−７＞ｆ(ｘ) に対して、次の式が成立する φ(ｘ) が存在する。

ｆ(ｘ)/(ｘ−α)２≡ｆ(α)/(ｘ−α)２＋φ(ｘ)/(ｘ−α)

部分分数分解定理 �T

＜証明＞ｆ(ｘ)−ｆ(α) は ｘ、α について交代式であるから、(ｘ−α) で割り切れる。

　　　　上のことより、次の式が成立する φ(ｘ) が存在する。

　　　　　　ｆ(ｘ)−ｆ(α)≡(ｘ−α)φ(ｘ)

　　　　上の式より、ｆ(ｘ)≡ｆ(α)＋(ｘ−α)φ(ｘ)

　　　　　　ｆ(ｘ)/(ｘ−α)２≡ｆ(α)/(ｘ−α)２＋φ(ｘ)/(ｘ−α)



＜定理−８＞ｆ(ｘ)，ｇ(ｘ) に対して、次の式が成立する φ(ｘ) が存在する。

ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ)(ｘ−α)≡{ｆ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)＋φ(ｘ)/ｇ(ｘ)

部分分数分解定理 �U

＜証明＞ｆ(ｘ)ｇ(α)−ｆ(α)ｇ(ｘ) は ｘ、α について交代式であるから、(ｘ−α) で割り

　　　　切れる。

　　　　上のことより、次の式が成立する ｈ(ｘ) が存在する。

                   ｆ(ｘ)ｇ(α)−ｆ(α)ｇ(ｘ)≡(ｘ−α)ｈ(ｘ)

　　　　上の式より、  ｆ(ｘ)ｇ(α)≡ｆ(α)ｇ(ｘ)＋(ｘ−α)ｈ(ｘ)

                           ｆ(ｘ)≡ｆ(α)ｇ(ｘ)/ｇ(α)＋(ｘ−α)ｈ(ｘ)/ｇ(α)

            ｆ(ｘ)/(ｘ−α)ｇ(ｘ)≡{ｆ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)＋{ｈ(ｘ)/ｇ(α)}ｇ(ｘ)

            ｆ(ｘ)/(ｘ−α)ｇ(ｘ)≡{ｆ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)＋φ(ｘ)/ｇ(ｘ)

                                 但し、ｈ(ｘ)/ｇ(α)≡φ(ｘ)


　＜系−１＞ｆ(ｘ)，ｇ(ｘ) に対して、次の式が成立する φ(ｘ)、ψ(ｘ) が存在する。

            ｆ(ｘ)/(ｘ−α)２ｇ(ｘ)≡{ｆ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋{φ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)＋ψ(ｘ)/ｇ(ｘ)

　＜証明＞定理−８ より、つぎの式が成立する φ(ｘ) が存在する。

　　　　　　　ｆ(ｘ)/(ｘ−α)ｇ(ｘ)≡{ｆ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)＋φ(ｘ)/ｇ(ｘ)････ (１)

　　　　　　　ｆ(ｘ)/(ｘ−α)２ｇ(ｘ)≡{ｆ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)２＋φ(ｘ)/(ｘ−α)ｇ(ｘ)

　　　　　定理−８ より、つぎの式が成立する ψ(ｘ) が存在する。

　　　　　　　φ(ｘ)/(ｘ−α)ｇ(ｘ)≡{φ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)＋ψ(ｘ)/ｇ(ｘ)････ (２)

          (１)、(２) より、つぎの式が成立する ψ(ｘ) が存在する。

　　　　　　　ｆ(ｘ)/(ｘ−α)２ｇ(ｘ)≡{ｆ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋{φ(α)/ｇ(α)}/(ｘ−α)＋ψ(ｘ)/ｇ(ｘ)


　＜系−２＞ｆ(ｘ)，ｇ(ｘ) に対して、次の式が成立する ａ，ｂ，ψ(ｘ) が存在する。

               ｆ(ｘ)/(ｘ−α)２ｇ(ｘ)≡ａ/(ｘ−α)２＋ｂ/(ｘ−α)＋ψ(ｘ)/ｇ(ｘ)

　＜証明＞系-１で、ｆ(α)/ｇ(α)＝ａ， φ(α)/ｇ(α)＝ｂ とおくと、

               　　ｆ(ｘ)/(ｘ−α)２ｇ(ｘ)≡ａ/(ｘ−α)２＋ｂ/(ｘ−α)＋ψ(ｘ)/ｇ(ｘ)


  高等学校の数学にこの定理はありませんから、試験の答案として使えません

が、答えを出すのに大変に有効です。従って、試験ではこの定理を使って答え

を求めておいてから、数学の教科書に書いてあるように解きなさい。これは日

陰と言うべきか、裏技というべきか？　まぁ、そんな数学です。　　　　　　




＜例題＞次の分数式を部分分数に分解しなさい。

　　　　１）　１/(ｘ３−１)

　　　　２）　(ｘ＋１)/{(ｘ＋２)(ｘ−１)２}         

＜解答＞１）１/(ｘ３−１)≡１/(ｘ−１)(ｘ２＋ｘ＋１)

　　　　　　部分分数分解定理 �U より、

　            １/(ｘ−１)(ｘ２＋ｘ＋１)≡１/３(ｘ−１)＋φ(ｘ)/(ｘ２＋ｘ＋１) とおく。

                                  ３≡(ｘ２＋ｘ＋１)＋３(ｘ−１)φ(ｘ)

　                   −３(ｘ−１)φ(ｘ)≡ｘ２＋ｘ−２

                                    ≡(ｘ−１)(ｘ＋２)

                           −３φ(ｘ)≡ｘ＋２

                               φ(ｘ)≡−(ｘ＋２)/３

　　　　　上の式より、１/(ｘ３−１)≡１/３(ｘ−１)−(ｘ＋２)/３(ｘ２＋ｘ＋１)


注意：この解答は高等学校の試験の解答にはなりません。

　＜別解＞１/(ｘ３−１)≡１/(ｘ−１)(ｘ２＋ｘ＋１)

　　        １/(ｘ−１)(ｘ２＋ｘ＋１)≡ａ/(ｘ−１)＋(ｂｘ＋ｃ)/(ｘ２＋ｘ＋１) とおく。

                              １≡ａ(ｘ２＋ｘ＋１)＋(ｂｘ＋ｃ)(ｘ−１)

　        上の式に ｘ＝１ を代入、

                              １＝ａ(１２＋１＋１)＋(ｂ×１＋ｃ)(１−１)

                              ａ＝１/３

　        ａ＝１/３ を １≡ａ(ｘ２＋ｘ＋１)＋(ｂｘ＋ｃ)(ｘ−１) に代入、

                             １≡(１/３)(ｘ２＋ｘ＋１)＋(ｂｘ＋ｃ)(ｘ−１)

                             ３≡(ｘ２＋ｘ＋１)＋３(ｂｘ＋ｃ)(ｘ−１)

                   −ｘ２−ｘ＋２≡３(ｂｘ＋ｃ)(ｘ−１)

                 −(ｘ２＋ｘ−２)≡３(ｂｘ＋ｃ)(ｘ−１)

              −(ｘ−１)(ｘ＋２)≡３(ｂｘ＋ｃ)(ｘ−１)

                   −(ｘ＋２)/３≡ｂｘ＋ｃ

　　　　　　上の式より、１/(ｘ３−１)≡１/３(ｘ−１)−(ｘ＋２)/３(ｘ２＋ｘ＋１)


　　　　２）(ｘ＋１)/{(ｘ＋２)(ｘ−１)２}           

　　　　　　(ｘ＋１)/{(ｘ＋２)(ｘ−１)２}≡−１/９(ｘ＋２)＋φ(ｘ)/(ｘ−１)２ とおく。

               　　　　　　　     ９(ｘ＋１)≡−(ｘ−１)２＋９(ｘ＋２)φ(ｘ)

                       ９(ｘ＋１)＋(ｘ−１)２≡９(ｘ＋２)φ(ｘ)

                            ９(ｘ＋２)φ(ｘ)≡ｘ２＋７ｘ＋１０

                                           ≡(ｘ＋５)(ｘ＋２)

                                    ９φ(ｘ)≡ｘ＋５

                                      φ(ｘ)≡(ｘ＋５)/９

　　　　　　上の式より、(ｘ＋１)/{(ｘ＋２)(ｘ−１)２}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≡−１/９(ｘ＋２)＋(ｘ＋５)/９(ｘ−１)２・・(１)

　　　　　　部分分数分解定理 �T より、

　　　　　   　　(ｘ＋５)/(ｘ−１)２≡６/(ｘ−１)２＋ψ(ｘ)/(ｘ−１) とおく。

　　　　　             　　(ｘ＋５)≡６＋ψ(ｘ)(ｘ−１)

　　　　　             　　(ｘ−１)≡ψ(ｘ)(ｘ−１)

      　　　　             　　　１≡ψ(ｘ)

　　　　　　上の式より、(ｘ＋５)/(ｘ−１)２≡６/(ｘ−１)２＋１/(ｘ−１)・・・・・・(２)

　　　　　　(１)、(２) より、

　　　　　　　　(ｘ＋１)/{(ｘ＋２)(ｘ−１)２}

　　　　　　　　　　　　　　≡−１/９(ｘ＋２)＋２/３(ｘ−１)２＋１/９(ｘ−１)





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