例　題　





＜例題＞四角形ＡＢＣＤ が円に内接するとき、次式が成立することを示せ。(トレミーの定理)

|ＡＣ||ＢＤ|＝|ＡＢ||ＣＤ|＋|ＡＤ||ＣＢ|



＜解答＞Ａ を反転変換の中心として、四角形ＡＢＣＤ を反転変換させると、Ｂ が Ｂ'、Ｃ が

　　　　Ｃ'、Ｄ が Ｄ' 移るとする。 、

　　　　定理−３ より、Ｂ'、Ｃ'、Ｄ' は一直線にあるから、

                      |Ｂ'Ｄ'|＝|Ｂ'Ｃ'|＋|Ｃ'Ｄ'|・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　定理−２ より、|ＡＢ||ＡＢ'|＝ｋ２＝|ＡＣ||ＡＣ'|
 
                      |ＡＢ|：|ＡＣ|＝|ＡＣ'|：|ＡＢ'|

                            ∠ＢＡＣ＝∠Ｃ'ＡＢ'

        上の式より、        △ＢＡＣ＝△Ｃ'ＡＢ'

 　　　　　　 　　　　|ＡＢ|：|ＢＣ|＝|ＡＣ'|：|Ｃ'Ｂ'|

                            |Ｂ'Ｃ'|＝|ＢＣ|×|ＡＣ'|/|ＡＢ|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝|ＢＣ|×ｋ２/|ＡＣ||ＡＢ|・・・・・・・・・・（２）

　　　　同様にして、　　　　|Ｃ'Ｄ'|＝|ＣＤ|×ｋ２/|ＡＤ||ＡＣ|・・・・・・・・・・（３）

　　　　　　　　　　　　　　|Ｂ'Ｄ'|＝|ＢＤ|×ｋ２/|ＡＤ||ＡＢ|・・・・・・・・・・（４）

　　　　(１) に (２)、(３)、(４) を代入、

　　 　　　　　　|ＢＤ|×ｋ２/|ＡＤ||ＡＢ|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝|ＢＣ|×ｋ２/|ＡＣ||ＡＢ|

                                              ＋|ＣＤ|×ｋ２/|ＡＤ||ＡＣ|

　　 　　　　　　|ＢＤ|/|ＡＤ||ＡＢ|＝|ＢＣ|/|ＡＣ||ＡＢ|＋|ＣＤ||ＡＤ||ＡＣ|

　　　　上の式の両辺に |ＡＢ||ＡＣ||ＡＤ| を掛ける。

　　　　 　 　　　　　　|ＢＤ||ＡＣ|＝|ＢＣ||ＡＤ|＋|ＣＤ||ＡＢ|

      　　　　　　　　　|ＡＣ||ＢＤ|＝|ＡＢ||ＣＤ|＋|ＡＤ||ＣＢ|


ユークリット、ベクトル、反転変換、どれが良い・・・？？？

それを聞く方がどうかねぇ・・・？？？

　複ベクトルの解答は当ＨＰの製作者の解答で、数学の本にある、つまり、天才数

学者の解答を写したものではありませんから、一番分かり易いと思います・・・？



      
　ユークリット幾何学　
      
ベクトル幾何学　



＜例題＞正三角形ＡＢＣ の外接円の Ａ を含まない弧 ＢＣ 上に点 Ｐ をとるとき， 次式が

　　　　成立することを示せ。　　　|ＰＡ|＝|ＰＢ|＋|ＰＣ|

＜解答＞条件より、四角形ＡＢＰＣ が円に内接するから、上のトレミーの定理より、

　　　　　　　　　　|ＡＰ||ＢＣ|＝|ＡＢ||ＰＣ|＋|ＡＣ||ＰＢ|

　　　　条件より、|ＡＢ|＝|ＢＣ|＝|ＣＡ|＝ａ と置くと、

　　　　上の式より、　　|ＡＰ|ａ＝ａ|ＰＣ|＋ａ|ＰＢ|

　　　　　　　　　　　　　|ＰＡ|＝|ＰＣ|＋|ＰＢ|

　　　　　　　　　　　　　|ＰＡ|＝|ＰＢ|＋|ＰＣ|



      
　中学校の数学　

      
　ベクトル幾何学　






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