＜例題＞半径が ６ の大円の中に、中心が Ｍ、Ｎ、Ｇ の円が下図のように接している。円 Ｍ、
Ｎ の半径が ４、２ のとき、円 Ｇ の半径を求めよ。
＜解答＞Ｏ を反転の中心、反転半径を １２ として、反転変換すると、Ｇ が Ｇ'へ、Ｎ が Ｎ'
に移動する。
円 Ｇ' の半径 (１８−１２)/２＝３
|ＯＧ'|２＝１５２＋６２＝２６１
定理ー６ の半径の公式 ｋ２ｒ/(ｇ２−ｒ２) から、
円 Ｇ の半径＝１２２×３/(２６１−３２)
＝１４４×３/２５２
＝１２/７
＜例題＞半径が ｄ＝６ の大円の中に、中心が Ｍ、Ｎ、Ｇ の円が下図のように接している。円
Ｍ の半径が ａ＝４、円 Ｎ，Ｇ の半径 ｂ、ｃ とする。 Ｏ を反転の中心、反転半径
を １２ として、反転変換すると、Ｇ が Ｇ'へ、Ｎ が Ｎ' へ移動させ、 |ＨＩ|＝１
となった。このとき、次式が成立すことを示せ。
(１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ−１/ｄ)２＝２(１/ａ２＋１/ｂ２＋１/ｃ２＋１/ｄ２)
＜解答＞ 円 Ｇ' の半径 (１８−１２)/２＝３
|ＯＧ'|２＝１５２＋２２＝２２９
定理ー６ の半径の公式 ｋ２ｒ/(ｇ２−ｒ２) から、
円 Ｇ の半径＝ｃ＝１２２×３/(２２９−３２)
＝１２２×３/(２２０)＝１０８/５５
|ＯＮ'|２＝１５２＋４２＝２４１
定理ー６ の半径の公式 ｋ２ｒ/(ｇ２−ｒ２) から、
円 Ｎ の半径＝ｂ＝１２２×３/(２４１−３２)
＝１２２×３/(２３２)＝１０８/５８
上の式から、
(１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ−１/ｄ)２
＝(１/４＋５５/１０８＋５８/１０８−１/６)２
＝(１/４−１/６＋５５/１０８＋５８/１０８)２
＝(１/１２＋１１３/１０８)２
＝(９/１０８＋１１３/１０８)２
＝(１２２/１０８)２
＝(６１/５４)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
２(１/ａ２＋１/ｂ２＋１/ｃ２＋１/ｄ２)
＝２(１/１６＋(５５/１０８)２＋(５８/１０８)２＋１/３６)
＝１３/７２＋２(５５２＋５８２)/１０８２
＝１３/７２＋１２７７８/１１６６４
＝１３/７２＋６３８９/５８３２
＝１０５３/５８３２＋６３８９/５８３２
＝７４４２/５８３２
＝３７２１/２９１６
＝(６１/５４)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)、(２) から、
(１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ−１/ｄ)２＝２(１/ａ２＋１/ｂ２＋１/ｃ２＋１/ｄ２)
この式を「デカルトの円定理」と言います。和算にもこの式があって、これを使
って ａ、ｂ、ｃ を求めます。これを使って、デカルトの円定理を証明する？ 和
算家の目には本末転倒に見えるかも？ 時には、先人が開拓した道の逆を辿るのも
ありです。和算家と同じ道を行くには、カミソリ頭脳が必要で、それを持ち合わせ
ている者は、そう、そう、あちこちにいません。 まぁ、我々、凡人がカミソリを
使うと、問題を切らないで、自分の手を切ります。こんなことは止めた方が良いよ
うです。江戸のカミソリ頭脳を真似ても、我々、凡人は、その域に到達することは
殆ど不可能です。
自分にある能力に応じた解法を？ そんなことを言われるまでもなく、これしか
無いでしょう。それが無い時には「自分の能力に応じた道具」を自力で開拓するこ
とで解決すれば良い・・・？？？
まぁ、言うは易し。これも、また、大変です・・・？？？
何はともあれ、デカルトの円定理、こんな難しい定理を無しにして、反転変換を
使って ａ、ｂ、ｃ を求めた方が良さそうです。
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