＜例題＞半径 ６ の大円の内側に、図のように、中心が Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ の円が外接してい
る。円 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ の半径が ２，ｂ，ｃ，ｄ のとき、円 Ｂ，Ｃ、Ｄ の半径を求
めよ。
＜解答＞点 Ｏ を反転の中心、反転半径を １２ とする反転変換すると、大円は ｘ＝１２、
円 Ａ は ｘ＝３６ に移り、円 Ｃ は Ｃ'、円 Ｂ は Ｂ'、円 Ｅ は Ｅ' に移る。
円 Ｂ' の半径 (３６−１２)/４＝６、|ＯＢ'|＝１２＋６＝１８
円 Ｂ' から、円 Ｂ へ逆反転変換させると、
定理−５ の半径の公式 ｋ２ｒ/(ｇ２−ｒ２) から、
ｂ＝１２２×６/(１８２−６２)
＝１４４×６/２８８
＝３
同様に、円 Ｅ' の半径 (３６−１２)/４＝６、|ＯＥ'|＝３６−６＝３０
円 Ｅ' から、円 Ｅ へ逆反転変換させると、
定理−５ 半径の公式 ｋ２ｒ/(ｇ２−ｒ２) から、
ｅ＝１２２×６/(３０２−６２)
＝８６４/８６４
＝１
円 Ｃ' の半径は (３５−１２)÷２＝１２
３平方の定理より、
|ＯＣ'|２＝|ＯＨ|２＋|ＨＣ'|２
＝|ＯＨ|２＋|Ｃ'Ｂ'|２−|Ｂ'Ｈ|２
＝２４２＋１８２−６２
＝８６４
円 Ｃ' から、円 Ｃ へ逆反転変換させると、
定理−５ の半径の公式 ｋ２ｒ/(ｇ２−ｒ２) から、
ｃ＝１２２×１２/(８６４−１４４)
＝１２２×１２/７２０
＝１２２/６０
＝１２/５
(答） 円 Ｂ，Ｃ，Ｄ、Ｅ の半径は、３、１２/５、１２/５、１
これは行けます。ネット上にある解答なんか、見ちゃおれません！！！
反転すると、円の中心や半径が簡単に分かってしまう。実は・・・、そうなるよう
な反転を選んであるから・・・。これを使って、逆反転をさせて、元の図形の中心や
半径が求まります。こんな解法が、江戸の昔、日本にあったそうです。これは補助線
を使って解く方法の延長上にあったと考えられます。ユークリ幾何幾何学に限定され
た江戸のカミソリ頭脳は、何を考えて・・・、どんな補助線を引いて・・・、解いて
おったのか・・・、ちょっと想像も出来ませんねぇ・・・？？？
下記ページの複ベクトルを使った解答は、確かに剃刀頭脳が不要になるものの、こ
うまで計算が長くなっては、とてもやっていられません。これではデカルトさんに文
句を言えませんねぇ・・・！！！
江戸の和算家の解答は、こうではなかったらしい。
和算に資料を調べていませんが、和算家に近い解答を追加。
＜例題＞半径 ６ の大円の内側に、図のように、中心が Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ の円が外接してい
る。 円 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，Ｅ の半径が ａ，ｂ，ｃ，ｄ，１ のとき、円 Ａ，Ｂ，Ｃ、
Ｄ の半径を求めよ。
 
＜解答＞定理ー６ より、左の問題の図形を反転変換させて、大円と円 Ｅ が同心円、右の図に
移る反転変換が存在する。
図にある接点 Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ が Ｐ'、Ｑ'、Ｒ'、Ｓ' に移るとする。
定理ー９ より、複比は保存されるから、
(ＰＱＲＳ)＝(Ｐ'Ｑ'Ｒ'Ｓ')・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、(ＰＱＲＳ)＝(ＰＲ/ＱＲ)÷(ＰＳ/ＱＳ)
＝{(１２−２ｂ)/(２)}÷{(１２/(１２−２ａ)}
＝(６−ｂ)÷{６/(６−ａ)}
＝(６−ｂ)(６−ａ)/６・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
|Ｐ'Ｑ'|＝２ｘ、|Ｑ'Ｒ'|＝２ｙ とすると、△Ｃ'Ｅ'Ａ' は直角三角形であるから、
(ｘ＋ｙ)２＋(ｘ＋ｙ)２＝(２ｘ)２
２(ｘ＋ｙ)２＝４ｘ２
(ｘ＋ｙ)２＝２ｘ２
ｘ＋ｙ＝２１/２ｘ ∵ ｘ＞０、ｙ＞０
ｙ＝(２１/２−１)ｘ
上の式より、
(Ｐ'Ｑ'Ｒ'Ｓ')＝(Ｐ'Ｒ'/Ｑ'Ｒ')÷(Ｐ'Ｓ'/Ｑ'Ｓ')
＝{(２ｘ＋２ｙ)/(２ｙ)}÷(４ｘ＋２ｙ)/(２ｘ＋２ｙ)
＝(２ｘ＋２ｙ)２/２ｙ(４ｘ＋２ｙ)
＝(ｘ＋ｙ)２/ｙ(２ｘ＋ｙ)
＝{ｘ＋(２１/２−１)ｘ}２/(２１/２−１)ｘ(２ｘ＋(２１/２−１)ｘ)
＝(２１/２)２/(２１/２−１)(２１/２＋１)
＝２/(２−１)
＝２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
(１) に (２)、(３) を代入、
(６−ｂ)(６−ａ)/６＝２
(６−ｂ)(６−ａ)＝１２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
条件より、ａ＋ａ＋１＋１＋ｂ＋ｂ＝１２
ａ＋ｂ＝５・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（５）
(４)、(５) より、 ａｂ＝６
ａ＋ｂ＝５、ａｂ＝６、ａ＜ｂ より、ａ＝２，ｂ＝３
条件より、(ＡＣ)Ｓ＝(ＡＯ＋ＯＣ)Ｓ＝(ＡＯ)Ｓ＋２(ＡＯ・ＯＣ)＋(ＯＣ)Ｓ
２(ＯＡ・ＯＣ)＝(ＡＯ)Ｓ＋(ＯＣ)Ｓ−(ＡＣ)Ｓ
＝(４)２＋(６−ｃ)２−(２＋ｃ)２
＝４８−１６ｃ
ＯＡ・ＯＣ＝２４−８ｃ
同様に、ＯＢ・ＯＣ＝１８−９ｃ
条件より、ＡＯ：ＯＢ＝６−２：６−３＝４：３
３・ＡＯ＝４・ＯＢ
◎＝３・ＯＡ＋４・ＯＢ
０＝３(ＯＡ・ＯＣ)＋４(ＯＢ・ＯＣ)
上の式より、０＝３(２４−８ｃ)＋４(１８−９ｃ)
＝(６−２ｃ)＋(６−３ｃ)
＝６−２ｃ＋６−３ｃ
５ｃ＝１２
ｃ＝１２/５
ｄ＝ｃ＝１２/５
(答） 円 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ の半径は、２、３、１２/５、１２/５
これは「反転変換を使っても、反転の中心、反転円の半径」を使うと大変になる
から、これを避けた解答です。最初はこの種の問題を反転を使わないで解いている
うちに、必要に迫られて、反転に到達したのか・・・、あるいは、数学史家が知ら
ない秘密のルートで、西洋から反転を輸入したのか・・・？？？ 江戸時代は鎖国
ではあったものの、外国から色々な知識が可也入って来ているようです。和算家が
これを「秘伝」にしておったようですから、真相は分かりません。
江戸のカミソリ頭脳の創造性は・・・？
参 考
１/ａ＋１/ｂ＝１/２＋１/３＝５/６，１/ｃ＋１/ｄ＝５/１２＋５/１２＝５/６
１/ａ＋１/ｂ＝１/ｃ＋１/ｄ
この式は一般化出来て、これを法道寺善の式と言います。この式は上記の例題等
を解くのに使われた式のようですから、例題の答えを使って証明するのは、実は、
トンチンカンです。
複比は下記リンク先にあります。
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