線形微分方程式
<例題>dy+f(x)ydx+g(x)dx=0 を解け。但し、∫f(x)dx=F(x) とする。
<解答>dy+f(x)ydx+g(x)dx=0 から,
dy/y+f(x)dx+{g(x)/y}dx=0
du=dy/y+f(x)dx とおくと,
u=log(y)+F(x),y=exp{u−F(x)},exp(u)=yexp{F(x)}
上の式を問題の方程式に代入,
du+{g(x)/y}dx=0
du+g(x)exp{F(x)−u}dx=0
exp(u)du+exp{F(x)}g(x)dx=0
dv=exp(u)du+exp{F(x)}g(x)dx とおくと,
v=exp(u)+∫exp{F(x)}g(x)dx
dv=0
v=C
exp(u)+∫exp{F(x)}g(x)dx=C
yexp{F(x)}+∫exp{F(x)}g(x)dx=C
y=exp{−F(x)}{C−∫exp{F(x)}g(x)dx}
この問題の解法にはベルヌイ,ラグランジュが考えた定数変化法があます。あの得
体の知れない解法はちょっと受け取れません。私は知りませんが、高級な数学の分野
へ進めば、その理由付けはあるそうです・・・??? まぁ、それはそこへ行った時
の話しであって、そんな大袈裟なことを持ち出さす必要はありません。上の解答のよ
うに変換を使って軽く済ませましょう。
<例題>dy/dx−y/x=xex を解け。
<解答>dy/dx−y/x=xex から,
(y/dx){dy/y−(1/x)dx}=xex
y{dy/y−(1/x)dx}=xexdx
du=dy/y−(1/x)dx とおくと,
u=log(y)−log(x),eu=y/x,y=xeu
上の式より, ydu=xexdx
xeudu=xexdx
eudu=exdx
eudu−exdx=0
dv=eudu−exdx とおくと,v=eu−ex
上の式から,dv=0
v=C
eu−ex=C
y/x−ex=C
y=xexp(x)+Cx
線形微分方程式は何か怪しげな解法が数学の本にありますが、ここでは変換で解
くことにしました。
<別解>u=y/x とおくと、xu=y,dx×u+x×du=dy
この式を元の微分方程式に代入し、
(dx×u+x×du)/dx−(xu)/x=xexp(x)
dx×u+x×du−udx=xexp(x)dx
du=exp(x)dx
u=exp(x)+C
y/x=exp(x)+C
y=xexp(x)+Cx
<例題>dx/dt+x=t2, t=1 のとき、x=4/3
<解答>dx/dt+x=t2 から、
dx+xdt=t2dt
x(dx/x+dt)=t2dt
dx/x+dt=du とおくと、log(x)+t=u,x=eu−t
上の式を x(dx/x+dt)=t2dt に代入、
eu−tdu=t2dt
eudu=t2etdt
eu=∫t2etdt
=t2et−∫2tetdt
=t2et−2∫tetdt
=t2et−2{tet−∫etdt}
=t2et−2tet+2∫etdt
xet=t2et−2tet+2et+C
初期条件より、t=1 のとき、x=4/3
(4/3)e=e−2e+2e+C
C=1/3
∴ xet=t2et−2tet+2et+1/3
x=t2−2t+2+(1/3)e−t・・・・・・・・(答)
<例題>dy/dx−2xy=x を解け。
<解答>dy/dx−2xy=x から、
dy−2xydx=xdx
y(dy/y−2xdx)=xdx
dy/y−2x=du とおくと、
logy−x2=u、logy=x2+u、y=exp(x2)×exp(u)
y(dy/y−2xdx)=xdx から、
ydu=xdx
exp(x2)×exp(u)du=xdx
exp(u)du=exp(−x2)×xdx
exp(u)=∫exp(−x2)×xdx+C
exp(logy−x2)=∫exp(−x2)×xdx+C
exp(logy)÷exp(x2)=∫exp(−x2)×xdx+C
y=exp(x2){∫xexp(−x2)dx+C}
<別解>y+1/2=u とおくと、y=u−1/2,dy=du
上の式を問題の方程式に代入、
du/dx−2x(u−1/2)=x
du/dx−2xu+x=x
du/dx−2xu=0
du/u−2xdx=0
log(u)−x2=C
log(y+1/2)=x2+C
y+1/2=exp(x2+C)
y=exp(x2+C)−1/2
<例題>3y2dy=(y3+x)dx を解け。
<解答>3y2dy=(y3+x)dx より、
3y2dy−xdx=y3dx
du=3y2dy−xdx とおくと、u=y3−x2/2
上の式を問題の方程式に代入、
du=(u+x2/2)dx
du−udx=(x2/2)dx
z=log(u)−x とおくと、u=exp(z+x),du=udz+udx
udz+udx−udx=(x2/2)dx
udz=(x2/2)dx
exp(z+x)dz=(x2/2)dx
2exp(z)dz=x2exp(−x)dx
2exp(z)=∫x2exp(−x)dx+C 以下省略
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