例　題　






ここでは最初に解いた人の名前がついた微分方程式を集めました。






                                                                    
Clairaut の微分方程式

＜問題＞ｙ＝ｘｙ'＋ｆ(ｙ')

＜解答＞ｙ'＝ｕ とおくと，問題の方程式より，

                ｙ＝ｘｕ＋ｆ(ｕ)   ･････････････････････････････････････････  （１）

　　　　両辺を微分すると， ｙ'＝ｕ＋ｘｕ'＋ｆ'(ｕ)ｕ'

                            ｕ＝ｕ＋ｘｕ'＋ｆ'(ｕ)ｕ'

                            ０＝ｘｕ'＋ｆ'(ｕ)ｕ'

                            ０＝ｕ'{ｘ＋ｆ'(ｕ)}

                     ｕ'＝０  or  ｘ＋ｆ'(ｕ)＝０

        イ） ｕ'＝０ のとき，

                    ｕ＝Ｃ

             上の式を（１）に代入，ｙ＝ｘＣ＋ｆ(Ｃ)

        ロ） ｘ＋ｆ'(ｕ)＝０ のとき，

             上の式を ｕ について解いた式を ｕ＝ｇ(ｘ) とする。

             上の式を（１）に代入，ｙ＝ｘｇ(ｘ)＋ｆ{ｇ(ｘ)} 
       

＜問題＞ｙ＝ｘｙ'＋(１＋ｙ'２)１/２　　但し、ｘ≠±１

＜解答＞ｙ'＝ｕ とおくと，問題の方程式より，

                    ｙ＝ｘｕ＋(１＋ｕ２)１/２

　　　　　　　　　 ｙ'＝ｕ＋ｘｕ'＋(１/２)(１＋ｕ２)−１/２×２ｕ×ｕ'

　　　　　　　　　　０＝ｘｕ'＋(１/２)(１＋ｕ２)−１/２×２ｕ×ｕ'

　　　　　　　　　　０＝ｕ'{ｘ＋(１＋ｕ２)−１/２×ｕ}

　　　　　　　　　　　＝ｕ'{ｘ＋ｕ(１＋ｕ２)−１/２}

　　　　　　　　ｕ'＝０　or　ｘ＋ｕ(１＋ｕ２)−１/２＝０

　　　　イ）ｕ'＝０ のとき、ｕ＝Ｃ

　　　　　　　　　　　　　 ｙ'＝Ｃ

　　　　　　　　　　　　　 ｙ'＝ｘＣ＋(１＋Ｃ２)１/２

　　　　ロ）ｘ＋ｕ(１＋ｕ２)−１/２＝０ のとき、

              　　ｕ(１＋ｕ２)−１/２＝−ｘ

              　　ｕ＝−ｘ(１＋ｕ２)１/２

              　　ｕ２＝ｘ２(１＋ｕ２)

　　　　　　　　　ｕ２＝ｘ２(１−ｘ２)−１  　∵　ｘ≠±１

　　　　　　　　　ｕ＝±ｘ(１−ｘ２)−１/２

　　　　　　上の式を ｙ＝ｘｙ'＋(１＋ｙ'２)１/２ に代入、

　　　　　　　　　ｙ＝±ｘ２(１−ｘ２)−１/２＋{１＋ｘ２(１−ｘ２)−１}１/２







Bernoulli の微分方程式

＜問題＞ｙ'＋ｆ(ｘ)ｙ＝ｇ(ｘ)ｙｎ

＜解答＞ｙ１−ｎ＝ｕ とおくと，

                     ｙ＝ｕｙｎ
  
                    ｙ'＝ｕ'ｙｎ＋ｎｕｙｎ−１ｙ'＝ｕ'ｙｎ＋ｎｕｕ−１ｙ'＝ｕ'ｙｎ＋ｎｙ'

            (１−ｎ)ｙ'＝ｕ'ｙｎ

                    ｙ'＝ｕ'ｙｎ/(１−ｎ)

　　　　上の式を問題の方程式に代入，

                ｕ'ｙｎ/(１−ｎ)＋ｆ(ｘ)ｕｙｎ＝ｇ(ｘ)ｙｎ

                        ｕ'＋(１−ｎ)ｆ(ｘ)ｕ＝(１−ｎ)ｇ(ｘ)

　　　　上の式は線形微分方程式であるから，これを使って解ける。
        


                                                                                              



G'Alambert の微分方程式

＜問題＞ｘ＋ｙｙ'＝ｆ(ｙ')

＜解答＞ｙ'＝ｕ とおくと，問題の方程式より，

               ｘ＋ｙｕ＝ｆ(ｕ)

　　　　両辺を ｙ について微分すると，

                ｄｘ/ｄｙ＋ｕ＋ｙｄｕ/ｄｙ＝ｆ'(ｕ)ｄｕ/ｄｙ

                    １/ｕ＋ｕ＋ｙｄｕ/ｄｙ＝ｆ'(ｕ)ｄｕ/ｄｙ

                  (１/ｕ＋ｕ)ｄｙ/ｄｕ＋ｙ＝ｆ'(ｕ)

             {(１＋ｕ２)/ｕ}(ｄｙ/ｄｕ)＋ｙ＝ｆ'(ｕ)

               ｄｙ/ｄｕ＋{ｕ/(１＋ｕ２)}ｙ＝{ｕ/(１＋ｕ２)}ｆ'(ｕ)

　　　　上の式は線形微分方程式であるから，これを使って解ける。







Lgrange の微分方程式

＜問題＞ｙ＝ｘｆ(ｙ')＋ｇ(ｙ')

＜解答＞ｙ'＝ｕ とおくと，問題の方程式より，

                ｙ＝ｘｆ(ｕ)＋ｇ(ｕ)

　　　　両辺を微分すると， ｙ'＝ｆ(ｕ)＋ｘｆ(ｕ)ｕ'＋ｇ'(ｕ)ｕ'

                            ｕ＝ｆ(ｕ)＋ｘｆ'(ｕ)ｕ'＋ｇ'(ｕ)ｕ'

                            ｕ＝ｆ(ｕ)＋ｘｆ'(ｕ)(ｄｕ/ｄｘ)＋ｇ'(ｕ)(ｄｕ/ｄｘ)

                      ｕ−ｆ(ｕ)＝(ｄｕ/ｄｘ){ｘｆ'(ｕ)＋ｇ'(ｕ)}

                       ｄｘ/ｄｕ＝{ｘｆ'(ｕ)＋ｇ'(ｕ)}/{ｕ−ｆ(ｕ)}

               ｄｘ/ｄｕ−ｘ{ｆ'(ｕ)}/{ｕ−ｆ(ｕ)}＝{ｇ'(ｕ)}/{ｕ−ｆ(ｕ)}

　　　　上の式は線形微分方程式であるから，これを使って解ける。







訪 問 者 か ら の 質 問

  今ダランベール微分方程式について調べています。ｙ＝ｘｆ(ｙ')＋ｇ(ｙ') において

ｆ(ｘ) と ｇ(ｘ) が１階微分が可能であることから言いたいのですが，今一分かりませ

ん。どんな条件があれば解が存在するのでしょうか？  宜しかったら教えてください。

　　早めに欲しいです。メール待ってます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 


お  答  え

ダランベール微分方程式は，ラグランジュ微分方程式ともいうらしいです。

上にその解答があります。




訪 問 者 か ら の 再 質 問



微分方程式の解答の中のｆとｇを微分しているのですが，

          １，微分出来るためのｆとｇの条件というのはないのですか？　微分できない

　　　　　　　ｆ と ｇ の条件は何ですか？

          ２，この微分方程式の解が存在するのはどんな条件の時ですか？　この微分方

　　　　　　　程式の解が存在しないのはどんな条件の時ですか？


お 答 え

          １，について，ラグランジュ微分方程式の問題とは余り関係ないようです。 微

　　　　　　　分可能とはどんなことか微積分書物の始めに書いてあるものをご覧ください。

          ２，について，解の存在を扱うには，解を ｙ＝ａ０＋ａ１ｘ１＋ａ２ｘ２＋･･･

　　　　　　　とすることから始めねばなりませんが，そこまでは勉強してありません。

              ｆ と ｇ が微分不可能であったり，ｕ−ｆ(ｕ)＝０ のときには，上の変換

　　　　　　　による解答では答えは出ないでしょう。私はここまでしか知りません。





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