例　題　





＜例題＞点 Ｑ(α，β）と ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ で表される直線の距離を求めよ。

＜解答＞ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ をベクトル方程式で表すと次の方程式となる。

　　　　　　　　　Ｎ・ＯＸ＋ｃ＝０    　 但し、Ｎ＝(ａ，ｂ)、ＯＸ＝(ｘ，ｙ)

　　　　点 Ｑ から直線 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ に降ろした垂線の足を Ｈ とする。

　　　　　　　　Ｎ・ＨＱ＝Ｎ・(ＨＸ＋ＸＯ＋ＯＱ)

　　　　　　　　　　　　＝Ｎ・ＨＸ＋Ｎ・ＸＯ＋Ｎ・ＯＱ

　　　　　　　　　　　　＝０＋Ｎ・ＸＯ＋Ｎ・ＯＱ

　　　　　　　　　　　　＝Ｎ・ＸＯ＋Ｎ・ＯＱ

　　　　　　　　　　　　＝Ｎ・ＯＱ−Ｎ・ＯＸ

　　　　　　　　　　　　＝(ａ，ｂ)・(α，β)−(−ｃ)

　　　　　　　　　　　　＝ａα＋ｂβ＋ｃ

　　　　イ）Ｎ と ＨＱ が同方向のとき、

　　　　　　　　|Ｎ||ＨＱ|cos０＝ａα＋ｂβ＋ｃ

　　　　　　     　　|Ｎ||ＨＱ|＝ａα＋ｂβ＋ｃ

　　　　ロ）Ｎ と ＨＱ が逆方向のとき、

　　　　　　　　|Ｎ||ＨＱ|cosπ＝ａα＋ｂβ＋ｃ

　　　　　　　　　 −|Ｎ||ＨＱ|＝ａα＋ｂβ＋ｃ

　　　　　　　　　　 |Ｎ||ＨＱ|＝−(ａα＋ｂβ＋ｃ)

　　　　イ)、ロ）より、|Ｎ||ＨＱ|＝|ａα＋ｂβ＋ｃ|

　　　　　　　　　　　　　 |ＨＱ|＝|ａα＋ｂβ＋ｃ|/|Ｎ|

　　　　 　　 　　　　　　　　　 ＝|ａα＋ｂβ＋ｃ|÷(ａ２＋ｂ２)１/２


　この問題を解析幾何学で解くには、上手くやらないと大変なことになります。ベ

クトルの良さをしみじみと実感出来るでしょう。デカルトさんに高校数学からの引

退を勧告しましょうか？　イエ、イエ・・・、それはいけません。これには文部科

学省の木っ端役人の猛反発を招きそうです。まぁ，お役人様は、日本でトップクラ

スの秀才の集まりですから、しようがありませんねぇ・・・。まぁ・・・、秀才を

敬意を払い、そして、遥か眼下に見下ろしている者が沢山いますよ！！！　　　　


    
　例題−４　






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