＜例題＞ＯＩＳ＝ｒ２−ｆ/ｄ から、ＯＩＳ＝ｒ２−２ｒｒi を導け。（オイラーの定理）
＜解答＞条件より、ＯＩＳ＝ｒ２−ｆ/ｄ
三角形の面積公式から、
ｓ＝(１/２)ｒｉ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝ｄｒｉ
ｓ＝ａｂｃ/４ｒ＝２ｆ/４ｒ＝ｆ/２ｒ
上の式より、
ＯＩＳ＝ｒ２−ｆ/ｄ＝ｒ２−２ｒｓ/(ｓ/ｒi)＝ｒ２−２ｒｒi
∴ ＯＩＳ＝ｒ２−２ｒｒi
＜例題＞|ＡＢ|＝４，|ＢＣ|＝５，|ＣＡ|＝３ の △ＡＢＣ がある。この三角形の内心と外心
の間の距離を求めよ。
＜解答＞|ＡＢ|＝ｃ，|ＢＣ|＝ａ，|ＣＡ|＝ｂ、ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｄ，ａｂｃ＝２ｆ とおくと、
２ｄ＝５＋３＋４＝１２，２ｆ＝５×３×４＝６０
ｄ＝６， ｆ＝３０
△ＡＢＣ の面積を Ｓ とすると、ヘロンの公式より、
Ｓ２＝ｄ(ｄ−ａ)(ｄ−ｂ)(ｄ−ｃ)＝６×１×３×２
Ｓ＝６
△ＡＢＣ の外接円の半径を ｒ とすると、Ｓ＝ａｂｃ/４ｒ から、
ｒ＝ｆ/２Ｓ＝３０÷(２×６)＝５/２
上の式と ＯＩＳ＝ｒ２−ｆ/ｄ から、
ＯＩＳ＝(５/２)２−３０/６＝２５/４−２０/４＝５/４
|ＯＩ|＝５１/２/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（答）
公式 ＯＩＳ＝ｒ２−ｆ/ｄ は普通の数学の本に無いのでは・・・？
この式を変形したオイラー定理ならばあります。これを使うならば、下の解答になります。
＜別解＞|ＡＢ|＝ｃ，|ＢＣ|＝ａ，|ＣＡ|＝ｂ、ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｄ とおくと、
２ｄ＝５＋３＋４＝１２
ｄ＝６
△ＡＢＣ の面積を Ｓ とすると、ヘロンの公式より、
Ｓ２＝ｄ(ｄ−ａ)(ｄ−ｂ)(ｄ−ｃ)＝６×１×３×２
Ｓ＝６
△ＡＢＣ の外接円の半径を Ｒ とすると、Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ から、
Ｒ＝ｆ/２Ｓ＝３０÷(２×６)＝５/２
△ＡＢＣ の内接円の半径を ｒ とすると、Ｓ＝(１/２)ｒ(ａ＋ｂ＋ｃ) から、
ｒ＝２Ｓ/２ｄ＝Ｓ/ｄ＝６/６＝１
上の式とオイラーの定理 ＯＩＳ＝Ｒ２−２Ｒｒ から、
ＯＩＳ＝(５/２)２−２×５/２×１＝２５/４−２０/４＝５/４
|ＯＩ|＝５１/２/２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（答）
＜例題＞ＨＩＳ＝４ｒ２−４ｄ２＋６ｅ−４ｆ/ｄ から、次式を導け。
ＨＩＳ＝４ｒ２＋３ｒｉ２−(ｓ/ｒｉ)２＋４ｒｒi
＜解答＞条件より、ＨＩＳ＝４ｒ２−４ｄ２＋６ｅ−４ｆ/ｄ
三角形の面積公式から、
ｓ＝(１/２)ｒｉ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝ｄｒｉ
ｓ＝ａｂｃ/４ｒ＝２ｆ/４ｒ＝ｆ/２ｒ
ｓ２＝ｄ(ｄ−ａ)(ｄ−ｂ)(ｄ−ｃ)
＝−ｄ４＋２ｅｄ２−２ｆｄ （ヘロンの公式より）
上の式より、ｄ＝ｓ/ｒｉ
ｆ＝２ｓｒ
ｅ＝(１/２)ｒｉ２＋(１/２)(ｓ/ｒｉ)２＋２ｒｒi
上の式を ＨＩＳ＝４ｒ２−４ｄ２＋６ｅ−４ｆ/ｄ に代入、
ＨＩＳ＝４ｒ２−４(ｓ/ｒｉ)２
＋６{(１/２)ｒｉ２＋(１/２)(ｓ/ｒｉ)２＋２ｒｒi}−４(２ｒｒi)
＝４ｒ２＋３ｒｉ２−(ｓ/ｒｉ)２＋４ｒｒi
＜例題＞９ＧＩＳ＝−９ｄ２＋１０ｅ−１８ｆ/ｄ から、次式を導け。
９ＧＩＳ＝５ｒｉ２−４(ｓ/ｒｉ)２−１６ｒｒi
＜解答＞条件より、９ＧＩＳ＝−９ｄ２＋１０ｅ−１８ｆ/ｄ
三角形の面積公式から、
ｓ＝(１/２)ｒｉ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝ｄｒｉ
ｓ＝ａｂｃ/４ｒ＝２ｆ/４ｒ＝ｆ/２ｒ
ｓ２＝ｄ(ｄ−ａ)(ｄ−ｂ)(ｄ−ｃ)
＝−ｄ４＋２ｅｄ２−２ｆｄ （ヘロンの公式より）
上の式より、ｄ＝ｓ/ｒｉ
ｆ＝２ｓｒ
ｅ＝(１/２)ｒｉ２＋(１/２)(ｓ/ｒｉ)２＋２ｒｒi
上の式を ９ＧＩＳ＝−９ｄ２＋１０ｅ−１８ｆ/ｄ に代入、
９ＧＩＳ＝−９(ｓ/ｒｉ)２
＋１０{(１/２)ｒｉ２＋(１/２)(ｓ/ｒｉ)２＋２ｒｒi}
−１８(２ｒｒi)
＝５ｒｉ２−４(ｓ/ｒｉ)２−１６ｒｒi
オイラーの定理に真似た・・・定理。式は余りきれいでなく、使い道も・・・？
９点円の場合はきれいになり、ホイエルバッハの定理の証明に、こんな使い道があ
ります。ＨＩＳ、ＧＩＳ の式はユークリッとや解析幾何学では多分見つからない
でしょう。従って、既存の数学にはありません。
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