例　題　





＜例題＞△ＡＢＣ の内心を Ｉ とする。直線 ＡＩ と△ＡＢＣ の外接円との交点を Ｄ とする

　　　　と、|ＩＢ|＝|ＢＤ|＝|ＤＣ| となることを示せ。


＜解答＞∠Ａ＝２α、∠Ｂ＝２β と表す。

　　　　条件より、∠ＤＢＩ＝arg(ＢＩ/ＢＤ)

　　　　　　　　　　　　　＝arg(ＢＩ/ＢＣ×ＢＣ/ＢＤ)

　　　　　　　　　　　　　＝arg(ＢＩ/ＢＣ)＋arg(ＢＣ/ＢＤ)

　　　　　　　　　　　　　＝β＋α

　　　　　　　　　　　　　＝α＋β

　　　　　　　　　∠ＤＩＢ＝arg(ＩＤ÷ＩＢ)

　　　　　　　　　　　　　＝arg(ＡＩ÷ＩＢ)

　　　　　　　　　　　　　＝arg(−ＩＡ÷ＩＢ)

　　　　　　　　　　　　　＝π＋arg(ＩＡ÷ＩＢ)

　　　　　　　　　　　　　＝π−arg(ＩＢ÷ＩＡ)

　　　　　　　　　　　　　＝π−(π−α−β)

　　　　　　　　　　　　　＝π−π＋α＋β

　　　　　　　　　　　　　＝α＋β

　　　　上の式より、∠ＤＢＩ＝∠ＤＩＢ

　　　　△ＢＤＩは２等辺三角形

 　　　　　　　　　　 |ＢＩ|＝|ＢＤ|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）


        条件より、　∠ＤＣＢ＝∠ＤＡＢ　　　∵　同一円周角

　　　　　　　　　　　　　　＝∠ＤＡＣ　　　∵　Ｉ が内心

　　　　　　　　　　　　　　＝∠ＤＢＣ　　　∵　同一円周角　

　　　　　　　　　　∠ＤＣＢ＝∠ＤＢＣ

　　　　△ＤＢＣ は２等辺三角形

　　 　　　　　　　　 |ＤＢ|＝|ＤＣ|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）


　　　　(１)、(２) より、|ＢＩ|＝|ＢＤ|＝|ＤＣ|





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