＜例題＞△ＡＢＣ の外接円周上の点Ｐから ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ に下ろした垂線の足を Ｌ、Ｍ、Ｎ
とすとき、３点 Ｌ、Ｍ、Ｎ は一直線上にある。
(シムソンの定理）
＜解答＞条件より、
arg(ＬＮ÷ＮＭ)＝arg{(ＬＮ/ＡＣ)÷(ＮＭ/ＡＣ)}
＝arg(ＬＮ/ＡＮ)−arg(ＮＭ/ＮＣ)
＝arg(ＮＬ/ＮＡ)−arg(ＮＭ/ＮＣ)
＝arg(ＰＬ/ＰＡ)−arg(ＰＭ/ＰＣ)
∵ 条件より、∠ＰＮＡ＝∠ＰＬＡ＝９０°であるから、
４点 Ｐ、Ｎ、Ｌ、Ａ は円に内接する。
従って、arg(ＮＬ÷ＮＡ)＝arg(ＰＬ÷ＰＡ)
∵ 条件より、∠ＰＮＣ＝∠ＰＭＣ＝９０°であるから、
４点 Ｐ、Ｎ、Ｃ、Ｍ は円に内接する。
従って、arg(ＮＭ÷ＮＣ)＝arg(ＰＭ÷ＰＣ)
＝{π/２−arg(ＰＬ/ＰＡ)}−{π/２−arg(ＰＭ/ＰＣ)}
＝arg(ＡＰ/ＡＬ)−arg(ＣＰ/ＣＭ)
＝０ ∵ 条件より、４点 Ｐ、Ａ，Ｂ，Ｃ は円に内接するから、
arg(ＡＰ/ＡＬ)＝arg(ＣＰ/ＣＭ)
上の式より、arg(ＬＮ÷ＮＭ)＝０
∴ Ｌ，Ｎ，Ｍ は一直線上にある。
下のユークリット幾何学によるの証明と実質的に変わりませんが、優れた記号が
ある分有理です。この問題は ＬＮ＊ＮＭ＝・・・＝０ とする方針では、多分迷宮
入りするでしょう。
＜解答＞△ＰＡＬ と △ＰＣＭ において、
条件より、∠ＰＬＡ＝∠ＰＭＣ＝９０°
条件より、４点 Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ は円に内接するから、∠ＰＡＬ＝∠ＰＣＭ
∴ ∠ＡＰＬ＝∠ＣＰＭ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
条件より、∠ＰＬＡ＝∠ＰＮＡ＝９０°であるから、
４点 Ｐ、Ｎ、Ｌ、Ａ は円に内接する。
∠ＡＰＬ＝∠ＡＮＬ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
条件より、∠ＰＮＣ＝∠ＰＭＣ＝９０°であるから、
４点 Ｐ、Ｎ、Ｃ、Ｍ は円に内接する。
∠ＣＰＭ＝∠ＣＮＭ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
(１)、(２)、(３) より、∠ＡＮＬ＝∠ＣＮＭ
∴ Ｌ，Ｎ，Ｍ は一直線上にある。
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