＜例題＞円に外接する四角形ＡＢＣＤ の２つ対辺の和が等しい。
＜証明＞辺 ＡＢ，ＢＣ、ＣＤ，ＤＡ と円の接点を Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ とすると、
|ＡＥ|＝|ＡＨ|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
|ＢＥ|＝|ＢＦ|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
|ＣＧ|＝|ＣＦ|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
|ＤＧ|＝|ＤＨ|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（４）
(１)＋(２)＋(３)＋(４)
|ＡＥ|＋|ＢＥ|＋|ＣＧ|＋|ＧＤ|＝|ＡＨ|＋|ＢＦ|＋|ＣＦ|＋|ＤＨ|
(|ＡＥ|＋|ＢＥ|)＋(|ＣＧ|＋|ＧＤ|)＝(|ＡＨ|＋|ＤＨ|)＋(|ＢＦ|＋|ＣＦ|)
|ＡＢ|＋|ＣＤ|＝|ＡＤ|＋|ＢＣ|
＜例題＞円に外接する四角形ＡＢＣＤ の２つ対角線 ＡＣ、ＢＤ の中点を Ｍ，Ｎ とし、四角
形が外接する円の中心を Ｏ とするとき、 ３点 Ｍ、Ｏ、Ｎ が一直線上に並ぶことを
示せ。 (ニュートン定理）
＜証明＞条件より、ＯＭ＊ＯＮ＝(１/２)・(ＯＡ＋ＯＣ)＊(１/２)・(ＯＢ＋ＯＤ)
４(ＯＭ＊ＯＮ)＝(ＯＡ＋ＯＣ)＊(ＯＢ＋ＯＤ)
＝ＯＡ＊ＯＢ＋ＯＡ＊ＯＤ＋ＯＣ＊ＯＢ＋ＯＣ＊ＯＤ
＝−ＯＢ＊ＯＡ＋ＯＡ＊ＯＤ−ＯＤ＊ＯＣ＋ＯＣ＊ＯＢ
＝−ＯＢ＊ＯＡ＋ＯＣ＊ＯＢ−ＯＤ＊ＯＣ＋ＯＡ＊ＯＤ
点 Ｏ から辺 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ に降ろした垂線の足を Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ、
円の半径を ｒ とすると、
４(ＯＭ＊ＯＮ)＝−(ＯＫ＋ＫＢ)＊(ＯＫ＋ＫＡ)
＋(ＯＬ＋ＬＣ)＊(ＯＬ＋ＬＢ)
−(ＯＭ＋ＭＤ)＊(ＯＭ＋ＭＣ)
＋(ＯＮ＋ＮＡ)＊(ＯＮ＋ＮＤ)
＝−ＯＫ＊ＫＡ−ＫＢ＊ＯＫ
＋ＯＬ＊ＬＢ＋ＬＣ＊ＯＬ
−ＯＭ＊ＭＣ−ＭＤ＊ＯＮ
＋ＯＮ＊ＮＤ＋ＮＡ＊ＯＮ
＝−ＯＫ＊ＫＡ−ＫＢ＊ＯＫ
＋ＯＬ＊ＬＢ＋ＬＣ＊ＯＬ
−ＯＭ＊ＭＣ−ＭＤ＊ＯＭ
＋ＯＮ＊ＮＤ＋ＮＡ＊ＯＮ
＝−ＯＫ＊ＫＡ＋ＯＫ＊ＫＢ
＋ＯＬ＊ＬＢ−ＯＬ＊ＬＣ
−ＯＭ＊ＭＣ＋ＯＭ＊ＭＤ
＋ＯＮ＊ＮＤ−ＯＮ＊ＮＡ
＝ＯＫ＊(−ＫＡ＋ＫＢ)＋ＯＬ＊(ＬＢ−ＬＣ)
＋ＯＭ＊(−ＭＣ＋ＭＤ)＋ＯＮ＊(ＮＤ−ＮＡ)
＝ＯＫ＊ＡＢ＋ＯＬ＊ＢＣ＋ＯＭ＊ＣＤ＋ＯＮ＊ＤＡ
＝−r|ＡＢ|＋r|ＡＤ|−r|ＤＣ|＋r|ＣＢ|
４(ＯＭ＊ＯＮ)/ｒ＝|ＡＤ|＋|ＣＢ|−|ＡＢ|−|ＣＤ|＝０ ∵ 前問より、
ＯＭ＊ＯＮ＝０
∴ ３点 Ｍ，Ｏ，Ｎ は一直線上にある。
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