例　題　





＜例題＞∠Ａ＝９０度 である三角形ＡＢＣ の頂点 Ａ から辺 ＢＣ に垂線を下ろし、その足を

　　　　Ｈ とするとき、次式が成立することを示せ。（アーキタスの定理）

　　　　１）　ＢＨ・ＢＣ＝ＡＢＳ

　　　　２）　ＣＨ・ＣＢ＝ＡＣＳ

　　　　３）　ＢＨ・ＨＣ＝ＡＨＳ

　　　　４）　ＡＢＳ：ＡＣＳ＝ＢＨ：ＨＣ

＜解答＞１）を示す。

　　　　　　　ＢＨ・ＢＣ＝(ＢＡ＋ＡＨ)・(ＢＡ＋ＡＣ)

                        ＝ＢＡＳ＋ＢＡ・ＡＣ＋ＡＨ・ＢＡ＋ＡＨ・ＡＣ

                        ＝ＢＡＳ＋ＡＨ・ＢＡ＋ＡＨ・ＡＣ　　　　∵　ＢＡ⊥ＡＣ

                        ＝ＢＡＳ＋ＡＨ・(ＢＡ＋ＡＣ)

                        ＝ＢＡＳ＋ＡＨ・ＢＣ

                        ＝ＢＡＳ　　　　　　　　　　　　　　　　∵　ＡＨ⊥ＢＣ

　　　　　　∴　　ＢＨ・ＢＣ＝ＡＢＳ


　　　　２）を示す。

　　　　　　　ＣＨ・ＣＢ＝(ＣＡ＋ＡＨ)・(ＣＡ＋ＡＢ)

                        ＝ＣＡＳ＋ＣＡ・ＡＢ＋ＡＨ・ＣＡ＋ＡＨ・ＡＢ

                        ＝ＣＡＳ＋ＡＨ・ＣＡ＋ＡＨ・ＡＢ　　　　∵　ＣＡ⊥ＡＢ

                        ＝ＣＡＳ＋ＡＨ・(ＣＡ＋ＡＢ)

                        ＝ＣＡＳ＋ＡＨ・ＣＢ

                        ＝ＣＡＳ　　　　　　　　　　　　　　　　∵　ＡＨ⊥ＢＣ

　　　　　　∴　　ＣＨ・ＣＢ＝ＣＡＳ


　　　　３）を示す。

　　　　　　　ＢＨ・ＨＣ＝(ＢＡ＋ＡＨ)・(ＨＡ＋ＡＣ)

　　　　　　　　　　　　＝ＢＡ・ＨＡ＋ＢＡ・ＡＣ＋ＡＨ・ＨＡ＋ＡＨ・ＡＣ

　　　　　　　　　　　　＝ＢＡ・ＨＡ−ＡＨＳ＋ＡＨ・ＡＣ　　　　∵　ＢＡ⊥ＡＣ

　　　　　　　　　　　　＝(ＢＨ＋ＨＡ)・ＨＡ−ＡＨＳ＋ＡＨ・(ＡＨ＋ＨＣ)

　　　　　　　　　　　　＝ＢＨ・ＨＡ＋ＡＨＳ−ＡＨＳ＋ＡＨＳ＋ＡＨ・ＨＣ

　　　　　　　　　　　　＝ＡＨＳ＋ＢＨ・ＨＡ＋ＡＨ・ＨＣ

　　　　　　　　　　　　＝ＡＨＳ　　　　　　　∵　ＢＨ⊥ＨＡ，ＡＨ⊥ＨＣ

　　　　　　∴　　ＢＨ・ＨＣ＝ＡＨＳ


　　　　４）を示す。

　　　　　　１)、２）から、

　　　　　　　　　ＡＢＳ：ＡＣＳ

　　　　　　　　　　　　　＝ＢＨ・ＢＣ：ＣＨ・ＣＢ

　　　　　　　　　　　　　＝ＢＨ・ＢＣ：ＨＣ・ＢＣ

　　　　　　　　　　　　　＝ＢＨ：ＨＣ

　　　　　　∴　　ＡＢＳ：ＡＣＳ＝ＢＨ：ＨＣ


　数学の歴史に残る定理も、ベクトルの手にかかれば、単なる計算問題でしかあり

ません。実は、あの「ピタゴラスの定理」もこのレベルにあり、数行の計算で片付

きます。何故に色々な証明を試みられたのか、ベクトルを手にして見れば、不思議

に見えてきます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　





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