例　題　





＜例題＞△ＡＢＣ の辺 ＡＢ，ＡＣ の中点を Ｍ，Ｎ とするとき、次式が成立することを示せ。

ＭＮ//ＢＣ，　|ＭＮ|：|ＢＣ|＝１：２　　　（中点連結定理)


＜解答＞△ＡＭＮ と △ＡＢＣ において、

　　　　条件から，∠Ａ は両三角形に共通

　　　　　　　　　ＡＭ：ＡＢ＝ＡＮ：ＡＣ＝１：２

　　　　上の式より、△ＡＭＮ∽△ＡＢＣ

　　　　∴　ＭＮ//ＢＣ，　|ＭＮ|：|ＢＣ|＝１：２


＜解答＞条件から，ＢＣ＝ＢＡ＋ＡＣ

　　　　　　　　　　　＝２・ＭＡ＋２・ＡＮ

　　　　　　　　　　　＝２・(ＭＡ＋ＡＮ)

　　　　　　　　　　　＝２・ＭＮ

　　　　　　ＭＮ：ＢＣ＝１：２

　　　　∴　ＭＮ//ＢＣ，　|ＭＮ|：|ＢＣ|＝１：２






＜例題＞△ＡＢＣ の辺 ＡＢ，ＡＣ の長さが ６ｃｍ、１０ｃｍ である。∠Ａ の２等分線と辺

　　　　ＢＣ の交点を Ｄ とするとき、|ＢＤ|，|ＤＣ| を求めよ。

＜解答＞条件より、直線 ＡＤ は ∠Ａ を２等分線するから、

　　　　　　　　　ＢＤ：ＤＣ＝|ＡＢ|：|ＡＣ|

　　　　　　　　　　　　　　＝６ｃｍ：１０ｃｍ 

　　　　　　　　　　　　　　＝３：５

　　　　　　　　　　５・ＢＤ＝３・ＤＣ

　　　　　　　　　　　　　　＝３・(ＤＢ＋ＢＣ)
 
　　　　　　　　　　　　　　＝３・ＤＢ＋３・ＢＣ

　　　　　　　　　　８・ＢＤ＝３・ＢＣ

　　　　　　　　　　　　ＢＤ＝(３/８)・ＢＣ

　　　　　　　　　　　|ＢＤ|＝(３/８)|ＢＣ|＝(３/８)×８ｃｍ＝３ｃｍ

　　　　　　　　　　　|ＤＣ|＝|ＤＢ＋ＢＣ|

　　　　　　　　　　　　　　＝|ーＢＤ＋ＢＣ|

　　　　　　　　　　　　　　＝ー|ＢＤ|＋|ＢＣ|

　　　　　　　　　　　　　　＝ー３ｃｍ＋８ｃｍ＝５ｃｍ


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）|ＢＤ|＝３ｃｍ、|ＤＣ|＝５ｃｍ






＜例題＞△ＡＢＣ の辺 ＢＣ 上に 点 Ｄ があり、△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ となる点 Ｅ があると

　　　　き、△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ となることを示せ。

＜解答＞条件より、△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ

　　　　　　　　ＡＢ：ＡＤ＝ＡＣ：ＡＥ

　　　　　　　　ＡＢ：ＡＣ＝ＡＤ：ＡＥ

　　　　上の式より、△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ


　これは中学校の教科書にあった問題です。中学生向けの証明はこうは簡単にい

きません。複ベクトルを使う幾何学はちょっと難しいようですが、これは教える

側が消化不良になっているだけなんです。中学生向けの証明はこうなります。比

較してください。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


＜解答＞条件より、△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ

　　　　　　　　　∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　　　　　　|ＡＢ|：|ＡＤ|＝|ＡＣ|：|ＡＥ|・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　(１) より、∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＣ＝∠ＣＡＥ＋∠ＤＡＣ

　　　　　　　　　　　　　 　∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＥ・・・・・・・・・・・・・・・・・(１)'

　　　　(２) より、　　|ＡＢ|：|ＡＣ|＝|ＡＤ|：|ＡＥ|・・・・・・・・・・・・・・(２)'

　　　　(１)'、(２)' より、一組みの角の大きさとそれを挟む辺の長さの比が等しいから、

　　　　　　　　　△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ





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