＜例題＞
＜解答＞辺 ＢＣ、ＡＯ を通る直線を ｘ軸、ｙ軸 とし、楕円の長軸の半径を ａ とし、２点
Ｃ，Ａ の座標を (α、０)、(０、β) とする、
下にある楕円の中心を Ｍ、焦点を Ｅ、直線 ＡＣ の接点を Ｐ とすると、
楕円の方程式から、
ａ２(ＭＰ)Ｓ−(ＭＥ・ＭＰ)２＝１２ａ２
ａ２＝ａ２(ＭＰ)Ｓ−(ＭＥ・ＭＰ)２
＝ａ２(ＭＡ＋ＡＰ)Ｓ−{ＭＥ・(ＭＡ＋ＡＰ)}２
＝ａ２(ＭＡ＋ＡＰ)Ｓ−{ＭＥ・ＡＰ}２
ＡＰ＝ｓ・ＡＣ とおくと、
ａ２＝ａ２(ＭＡ＋ｓ・ＡＣ)Ｓ−{ＭＥ・(ｓ・ＡＣ)}２
＝ａ２(ＭＡ＋ｓ・ＡＣ)Ｓ−ｓ２{ＭＥ・ＡＣ}２
＝ａ２(ＭＡ)２＋２ｓａ２(ＭＡ・ＡＣ)＋ａ２ｓ２(ＡＣ)Ｓ−ｓ２{ＭＥ・ＡＣ}２
０＝{ａ２(ＡＣ)Ｓ−(ＭＥ・ＡＣ)２}ｓ２
＋２ａ２(ＭＡ・ＡＣ)ｓ
＋ａ２{(ＭＡ)Ｓ−１}
条件より、ＡＣ＝(α、−β)、ＭＥ＝(ｃ、０)、ＭＡ＝(０、β−１) から、
ａ２(ＡＣ)Ｓ−(ＭＥ・ＡＣ)２
＝ａ２(α、−β)Ｓ−{(ｃ、０)・(α、−β)}２
＝(ａ２α２＋ａ２β２)−ｃ２α２
＝(ａ２−ｃ２)α２＋ａ２β２)
＝α２＋ａ２β２ ∵ ａ２＝ｃ２＋１２
(ＭＡ・ＡＣ)＝(０、β−１)・(α、−β)＝−β(β−１)
(ＭＡ)Ｓ−１＝(０、β−１)２−１＝(β−１)２−１＝β２−２β
上の式より、０＝(α２＋ａ２β２)ｓ２−２{ａ２β(β−１)}ｓ＋{ａ２(β２−２β)}
条件より、直線 ＡＰ と楕円は接するから、判別式 Ｄ は ０
０＝Ｄ/４
＝{ａ２β(β−１)}２−(α２＋ａ２β２)ａ２(β２−２β)
＝ａ２β(β−１)２−(α２＋ａ２β２)(β−２) ∵ ａ＞０、β＞０
＝(ａ２β３−２ａ２β２＋ａ２β)−(α２β＋ａ２β３−２α２−２ａ２β２）
＝(ａ２β)−(α２β−２α２）
(α２β−２α２）
＝ａ２β
α２＝βａ２/(β−２)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
∵ β＞２
上にある楕円の中心を Ｎ、焦点を Ｆ、直線 ＡＣ の接点を Ｑ とすると、
楕円の方程式から、
ａ２(ＮＱ)Ｓ−(ＮＦ・ＮＱ)２＝１２ａ２
ａ２＝ａ２(ＮＱ)Ｓ−(ＮＦ・ＮＱ)２
＝ａ２(ＮＡ＋ＡＱ)Ｓ−{ＮＦ・(ＮＡ＋ＡＱ)}２
＝ａ２(ＮＡ＋ＡＱ)Ｓ−{ＮＦ・(ＮＡ＋ＮＦ・ＡＱ}２
ＡＱ＝ｔ・ＡＣ とおくと、
ａ２＝ａ２(ＮＡ＋ｔ・ＡＣ)Ｓ−{ＮＦ・ＮＡ＋ＮＦ・(ｔ・ＡＣ)}２
＝ａ２(ＮＡ＋ｔ・ＡＣ)Ｓ−{ＮＦ・ＮＡ＋ｔ(ＮＦ・ＡＣ)}２
＝ａ２(ＮＡ)２＋２ａ２ｔ(ＮＡ・ＡＣ)＋ａ２ｔ２(ＡＣ)Ｓ
−{ＮＦ・ＮＡ＋ｔ(ＮＦ・ＡＣ)}２
０＝{ａ２(ＡＣ)Ｓ−(ＮＦ・ＡＣ)２}ｔ２
−２{(ＮＦ・ＮＡ)(ＮＦ・ＡＣ)−ａ２(ＮＡ・ＡＣ)}ｔ
＋{ａ２(ＮＡ)Ｓ−(ＮＦ・ＮＡ)２−ａ２}
条件より、ＡＣ＝(α、−β)、ＮＦ＝(０、ｃ)、ＮＡ＝(０、β−ａ−２) から、
ａ２(ＡＣ)Ｓ−(ＮＦ・ＡＣ)２
＝ａ２(α、−β)Ｓ−{(０、ｃ)・(α、−β)}２
＝ａ２(α２＋β２)−ｃ２β２＝ａ２α２＋(ａ２−ｃ２)β２
＝ａ２α２＋β２ ∵ ａ２＝ｃ２＋１２
(ＮＦ・ＮＡ)(ＮＦ・ＡＣ)−ａ２(ＮＡ・ＡＣ)
＝{(０，ｃ)・(０，β−ａ−２)}{(０，ｃ)・(α、−β)}
−ａ２{(０，β−ａ−２)・(α、−β)}
＝−ｃ２(β−ａ−２)β＋ａ２(β−ａ−２)β
＝(−ｃ２＋ａ２)(β−ａ−２)β
＝(β−ａ−２)β ∵ ａ２＝ｃ２＋１２
ａ２(ＮＡ)Ｓ−(ＮＦ・ＮＡ)２
＝ａ２(０、β−ａ−２)Ｓ−{(０、β−ａ−２)・(０、ｃ)}２
＝ａ２(β−ａ−２)Ｓ−ｃ２(β−ａ−２)２
＝(ａ２−ｃ２)(β−ａ−２)２
＝(β−ａ−２)２ ∵ ａ２＝ｃ２＋１２
上の式より、０＝(ａ２α２＋β２)ｔ２−２(β−ａ−２)βｔ＋{(β−ａ−２)２−ａ２}
条件より、直線 ＡＱ と楕円は接するから、判別式 Ｄ は ０
０＝Ｄ/４
＝{(β−ａ−２)β}２−(ａ２α２＋β２){(β−ａ−２)２−ａ２}
＝(β−ａ−２)２β２
−ａ２α２(β−ａ−２)２＋ａ２α２ａ２
−β２(β−ａ−２)２＋β２ａ２
＝−ａ２α２(β−ａ−２)２＋ａ２α２ａ２＋β２ａ２
＝−α２(β−ａ−２)２＋α２ａ２＋β２ ∵ ａ＞０
＝{ａ２−(β−ａ−２)２}α２＋β２
＝{ａ＋(β−ａ−２)}{ａ−(β−ａ−２)}α２＋β２
＝(β−２){２ａ−(β−２)}α２＋β２・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)、(２) から、
０＝(β−２){２ａ−(β−２)}{βａ２/(β−２)}＋β２
＝{２ａ−(β−２)}ａ２＋β ∵ β＞２
＝(１−ａ２)β＋(２ａ２＋２ａ３)
＝(１−ａ)(１＋ａ)β＋２ａ２(１＋ａ)
＝(１−ａ)β＋２ａ２ ∵ １＋ａ＞２
＝２ａ２−βａ＋β
＝ａ２−(β/２)ａ＋(β/２)
＝(ａ−β/４)２−(β２−８β)/１６
上の式が成立する ａ が存在するには,
β２−８β≧０
β−８≧０
β≧８
上の式より、β の最小値は ８ で、このとき ａ＝２
答 △ＡＢＣの高さの最小値 ８
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