＜例題＞△ＡＢＣ の外心を Ｏ，垂心を Ｈ，２点 Ｏ，Ｈ の中点を Ｎ とし，辺 ＡＢ，ＢＣ，
ＣＡ の中点を Ｄ，Ｅ，Ｆ とし， 頂点 Ａ，Ｂ，Ｃ から対辺に下ろした垂線の足を Ｐ
，Ｑ，Ｒ 、ＨＡ，ＨＢ，ＨＣ の中点を Ｋ，Ｌ，Ｍ とするとき，９点 Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ
，Ｑ，Ｒ，Ｋ，Ｌ，Ｍ は点 Ｎ から等距離にある。即ち同一円周上にあることを示せ。
(９ 点 円）
＜解答＞△ＡＢＣ の外接円の半径を ｒ とする。
Ｄ，Ｅ，Ｆ が Ｎ から（ｒ/２）の距離にあることを示す。
ＮＤ＝ＮＯ＋ＯＤ
＝(１/２)・ＨＯ＋(１/２)・(ＯＡ＋ＯＢ)
２・ＮＤ＝ＨＯ＋ＯＡ＋ＯＢ
＝ＡＯ＋ＢＯ＋ＣＯ＋ＯＡ＋ＯＢ
＝ＣＯ
(２・ＮＤ)Ｓ＝(ＣＯ)Ｓ
４(ＮＤ)Ｓ＝ｒ２
(ＮＤ)Ｓ＝ｒ２/４・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
同様に， (ＮＥ)Ｓ＝ｒ２/４
(ＮＦ)Ｓ＝ｒ２/４
Ｋ，Ｌ，Ｍ が Ｎ から（ｒ/２）の距離にあることを示す。
ＮＫ＝ＮＯ＋ＯＫ
＝(１/２)・ＨＯ＋(１/２)・(ＯＨ＋ＯＡ)
２・ＮＫ＝ＨＯ＋ＯＨ＋ＯＡ
＝ＯＡ
(２・ＮＫ)Ｓ＝(ＯＡ)Ｓ
４(ＮＫ)Ｓ＝ｒ２
(ＮＫ)Ｓ＝ｒ２/４
同様に， (ＮＬ)Ｓ＝ｒ２/４
(ＮＭ)Ｓ＝ｒ２/４
Ｐ，Ｑ，Ｒ が Ｎ から（ｒ/２）の距離にあることを示す。
２点 Ｒ、Ｄ の中心を Ｔ とすると、ＲＤ⊥ＴＮ、ＲＴ＝ＴＤ
(ＮＲ)Ｓ＝(ＮＴ＋ＴＲ)Ｓ
＝(ＮＴ)Ｓ＋２(ＮＴ・ＴＲ)＋(ＴＲ)Ｓ
＝(ＮＴ)Ｓ＋２(ＮＴ・ＴＤ)＋(ＴＤ)Ｓ ∵ ＮＴ・ＴＲ＝ＮＴ・ＴＤ＝０
＝(ＮＴ＋ＴＤ)Ｓ
＝(ＮＤ)Ｓ＝ｒ２/４
(ＮＲ)Ｓ＝ｒ２/４
同様に， (ＮＰ)Ｓ＝ｒ２/４
(ＮＱ)Ｓ＝ｒ２/４
以上より，９点 Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｋ，Ｌ，Ｍ は Ｎ から等距離にあるから、
同一円周上にある。
参 考
ＯＲ＝(１/２)・ＯＨ−ＯＡ×ＯＢ/(２・ＯＣ) より、
ＮＲ＝ＮＯ＋ＯＲ
＝(１/２)・ＨＯ＋(１/２)・ＯＨ−ＯＡ×ＯＢ/(２・ＯＣ)
＝−ＯＡ×ＯＢ/(２・ＯＣ)
(ＮＲ)Ｓ＝(−ＯＡ×ＯＢ/(２・ＯＣ)Ｓ
＝(ｒ×ｒ/２ｒ)２
＝ｒ２/４
「この問題は出来なかろう・・・ 」そんな意図が見え見えの訪問者からの質問で
した。このような質問は無視することにしていますが，質問の中身だけは取り上る
に値する，との考えで解答を掲載することにしました。私のホームページは難問を
出し合って，力を競う場所ではありません。そんな人の質問には答えません。学び
たい人の訪問や質問を歓迎しますが，道場破りのような訪問者は歓迎出来ません。
私にそんな方に立ち向かう力が無いからです。無駄な電話代を使うことにしかなり
ませんよ。
この問題をユークリットの幾何学で解答しようと思えば、質問者の予想通り，私
には出来ません。けれども，ベクトルを持っている者の道場はとても破れないでし
ょう。恐らく・・・、軽くあしらわれて・・・、馬鹿にされて・・・、無視される
だけです。複べクトルは大変に優れた幾何学の道具であって，これはデカルトの解
析幾何学を遥かに超えるでしょう。
ユークリットの幾何学で解答をお求めでしたら，下の文献を調べてください。日
本の数学者、沢山勇三郎(1860-1936)が、 これに２４通りの証明を与えた。それ本
当か知ら？ まぁ、仮に本当だとしても、上記の証明は無いハズです・・・？？？
(幾何学辞典 聖文社 笹部貞市 より)
この９点問題は高校背向けの教科書や参考書には登場しません。それは当然であ
って、高等学校で教えるのは難しい。それは、ユークリット幾何学で解くのを前提
としているから難しいのであって、複べクトルで解くなら、何も難しくなくて、寧
ろ、易しい問題の方に入ります。
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