例　題　





＜例題＞△ＡＢＣ の外心、内心、傍心、９点円の中心を Ｏ，Ｉ，Ｊ，Ｎ とし、外接円の半径を

　　　　ｒ，|ＡＢ|＝ｃ，|ＢＣ|＝ａ，|ＣＡ|＝ｂ とするとき， 次式が成立することを示せ。

但し、　ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｄ，　 ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝２ｅ，　 ａｂｃ＝２ｆ、 

　　　−ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｄ'，−ａｂ＋ｂｃ−ｃａ＝２ｅ'，−ａｂｃ＝２ｆ'、

　　　　１） ＮＩ＝(１/２ｄ)・{(ａ−ｄ)・ＯＡ＋(ｂ−ｄ)・ＯＢ＋(ｃ−ｄ)・ＯＣ}

　　　　２） ＮＪ＝{１/２ｄ')・{(−ａ−ｄ')・ＯＡ＋(ｂ−ｄ')・ＯＢ＋(ｃ−ｄ')・ＯＣ}

　　　　３） ＮＩＳ＝ｒ２/４−ｄ２＋２ｅ−５ｆ/２ｄ

　　　　４） ＮＪＳ＝ｒ２/４−ｄ'２＋２ｅ'−５ｆ'/２ｄ'

＜解答＞１）を示す。

 　　　　　 ＮＩ＝ＮＯ＋ＯＩ＝−ＯＮ＋ＯＩ

　　　　　　　　＝−(１/２)・(ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ)

                                   ＋(１/２ｄ)・(ａ・ＯＡ＋ｂ・ＯＢ＋ｃ・ＯＣ)

　　　　　　　　＝−(ｄ/２ｄ)・(ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ)

                                   ＋(１/２ｄ)・(ａ・ＯＡ＋ｂ・ＯＢ＋ｃ・ＯＣ)

　　　　　　　　＝(１/２ｄ)・{(ａ−ｄ)・ＯＡ＋(ｂ−ｄ)・ＯＢ＋(ｃ−ｄ)・ＯＣ}

　　　　２）を示す。

 　　　　　 ＮＪ＝ＮＯ＋ＯＪ＝−ＯＮ＋ＯＪ

　　　　　　　　＝−(１/２)・(ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ)

                                   ＋(１/２ｄ')・(−ａ・ＯＡ＋ｂ・ＯＢ＋ｃ・ＯＣ)

　　　　　　　　＝−(ｄ'/２ｄ')・(ＯＡ＋ＯＢ＋ＯＣ)

                                   ＋(１/２ｄ')・(−ａ・ＯＡ＋ｂ・ＯＢ＋ｃ・ＯＣ)

　　　　　　　　＝（１/２ｄ')・{(−ａ−ｄ')・ＯＡ＋(ｂ−ｄ')・ＯＢ＋(ｃ−ｄ')・ＯＣ}

　　　　３）を示す。

　　　　　　三角形の５心のファイルより、

　　　　　　　　　ＯＨＳ＝９ｒ２−４ｄ２＋４ｅ

　　　　　　　　　ＯＩＳ＝ｒ２−ｆ/ｄ

　　　　　　　　　ＯＨ・ＯＩ＝３ｒ２−ｅ＋３ｆ/２ｄ

　　　　　　上の式より、

　　　　　　　　　ＮＩＳ＝(ＮＯ＋ＯＩ)Ｓ＝{(１/２)・ＨＯ＋ＯＩ}Ｓ

　　　　　　　　　　　＝(１/４)(ＨＯ)Ｓ＋(ＨＯ・ＯＩ)＋ＯＩＳ

　　　　　　　　　　　＝(１/４)(ＯＨ)Ｓ−(ＯＨ・ＯＩ)＋ＯＩＳ

　　　　　　　　　　　＝(１/４)(９ｒ２−４ｄ２＋４ｅ)

                                  −(３ｒ２−ｅ＋３ｆ/２ｄ)＋(ｒ２−ｆ/ｄ)

                      ＝ｒ２/４−ｄ２＋２ｅ−５ｆ/２ｄ

　　　　４）を示す。

　　　　　　三角形の５心のファイルより、

　　　　          ＯＨＳ＝９ｒ２−４ｄ'２＋４ｅ'

       　　　　   ＯＪＳ＝ｒ２−ｆ'/ｄ'

         　　　　 ＯＨ・ＯＪ＝３ｒ２−ｅ'＋３ｆ'/２ｄ'

　　　　　　上の式より、

　　　　　　　　　ＮＪＳ＝(ＮＯ＋ＯＪ)Ｓ＝{(１/２)・ＨＯ＋ＯＪ}Ｓ

　　　　　　　　　　　＝(１/４)(ＨＯ)Ｓ＋(ＨＯ・ＯＪ)＋ＯＪＳ

　　　　　　　　　　　＝(１/４)(ＯＨ)Ｓ−(ＯＨ・ＯＪ)＋ＯＪＳ

　　　　　　　　　　　＝(１/４)(９ｒ２−４ｄ'２＋４ｅ')

                                    −(３ｒ２−ｅ'＋３ｆ'/２ｄ')＋(ｒ２−ｆ'/ｄ')

                      ＝ｒ２/４−ｄ'２＋２ｅ'−５ｆ'/２ｄ'


下のページを参考にしてください。


　三角形の５心間の距離　






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