今井塾セミナー


            　例　題　





＜例題＞次の等式を証明せよ。　　　　　　tan^２θ－sin^２θ＝tan^２θsin^２θ

＜証明＞cosθ＝ｘ、sinθ＝ｙ と置くと、

        cos^２θ＋sin^２θ＝１ から、ｘ^２＋ｙ^２＝１

　　　　上の式から、

　　　　　　　tan^２θ－sin^２θ－tan^２θsin^２θ

　　　　　　　　　　　 　＝sin^２θ/cos^２θ－sin^２θ－(sin^２θ/cos^２θ)sin^２θ

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２/ｘ^２－ｙ^２－(ｙ^２/ｘ^２)ｙ^２

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２(１/ｘ^２－１－ｙ^２/ｘ^２)

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２(１－ｘ^２－ｙ^２)/ｘ^２

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２{１－(ｘ^２＋ｙ^２)}/ｘ^２

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２{１－１}/ｘ^２　　　　∵　ｘ^２＋ｙ^２＝１

　　　　　　　　　     　＝ｙ^２{０}/ｘ^２

　　　　　　　　　     　＝０

　　　　∴　tan^２θ－sin^２θ＝tan^２θsin^２θ






＜例題＞(１＋sinθ－cosθ)÷(１＋sinθ＋cosθ)

　　　　　　　　　　　　　　＋(１＋sinθ＋cosθ)÷(１＋sinθ－cosθ)＝２/sinθ を示せ。

＜解答＞cosθ＝ｘ、 １＋sinθ＝ｙ とおくと、

        cos^２θ＋sin^２θ＝１ から、

                  ｘ^２＋(ｙ－１)^２＝１

              ｘ^２＋ｙ^２－２ｙ＋１＝１

                        ｘ^２＋ｙ^２＝２ｙ･･･････････････････････････････････････(１)

        上の式から、

             (１＋sinθ－cosθ)÷(１＋sinθ＋cosθ)

                                  ＋(１＋sinθ＋cosθ)÷(１＋sinθ－cosθ)

                      ＝(ｙ－ｘ)÷(ｙ＋ｘ)＋(ｙ＋ｘ)÷(ｙ－ｘ)

                      ＝(ｙ－ｘ)^２÷(ｙ＋ｘ)(ｙ－ｘ)＋(ｙ＋ｘ)^２÷(ｙ－ｘ)(ｙ＋ｘ)

                      ＝(ｙ－ｘ)^２÷(ｙ^２－ｘ^２)＋(ｙ＋ｘ)^２÷(ｙ^２－ｘ^２)

                      ＝(２ｙ^２＋２ｘ^２)÷(ｙ^２－ｘ^２)

                      ＝(２×２ｙ)÷(ｙ^２＋ｙ^２－２ｙ)

                      ＝(４ｙ)÷(２ｙ^２－２ｙ)

                      ＝(２)÷(ｙ－１)

                      ＝２/sinθ

        ∴    (１＋sinθ－cosθ)÷(１＋sinθ＋cosθ)

                             ＋(１＋sinθ＋cosθ)÷(１＋sinθ－cosθ)＝２/sinθ





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