例　題　





＜例題＞ｘ≧２、ｙ≧１/２、ｘｙ＝８ のとき、log２ｘ×log２ｙ の最大値、最小値を求めよ。

＜解答＞log２ｘ＝Ｘ，log２ｙ＝Ｙ と置くと、ｘ＝２Ｘ，ｙ＝２Ｙ　

　　　　条件から、ｘ≧２、　　　　 ｙ≧１/２

　　　　　　　log２ｘ≧log２２、log２ｙ≧log２１/２

　　　　　　　　　　＝１　　　　　　 ＝−１　　

  　　　　　　　　Ｘ≧１，         Ｙ≧−１

　　　　条件から、ｘｙ＝８

　　　　上の式に ｘ＝２Ｘ，ｙ＝２Ｙ を代入、　

　　　　　　　　２Ｘ×２Ｙ＝８

　　　　　　　　　２Ｘ＋Ｙ＝８＝２３

　　　　　　　　　Ｘ＋Ｙ＝３

　　　　上の式と Ｘ≧１，Ｙ≧−１ から、

　　　　　　　　１≦Ｘ≦４・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）

　　　　　　　　　　　　　　　　             (注意：グラフで判断しなさい)

　　　　Ｓ＝log２ｘ×log２ｙ と置くと、Ｓ＝ＸＹ

        上の式と Ｘ＋Ｙ＝３ から、

    　　　　    　　　Ｓ＝Ｘ(３−Ｘ)

     　　　　　   　　　＝−Ｘ２＋３Ｘ

     　　　   　　　−Ｓ＝Ｘ２−３Ｘ

　　                    ＝(Ｘ−３/２)２−９/４

               ９/４−Ｓ＝(Ｘ−３/２)２・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）

　　　　（１）より、１≦Ｘ≦４

　　　　　　　　−１/２≦Ｘ−３/２≦５/２

　　　　　　　　　　０≦(Ｘ−３/２)２≦２５/４

　　　　　上の式と（２）より、

　　　　　　　　　　０≦９/４−Ｓ≦２５/４

　　　　　　　　 　−９/４≦−Ｓ≦１６/４＝４

　　　　　　　　 　   −４≦Ｓ≦９/４

　　　　　Ｓ＝−４ のとき、(２）より、

                     ９/４−(−１６/４)＝(Ｘ−３/２)２

                    　　　　　　２５/４＝(Ｘ−３/２)２

                    　　　　　　±５/２＝Ｘ−３/２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｘ＝４      ∵　１≦Ｘ≦４

　　　　　　　　　　　　　　　　log２ｘ＝４

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝１６

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ＝１/２      ∵　ｘｙ＝８

　　　　　Ｓ＝９/４ のとき、(２）より、

                     ９/４−(９/４)＝(Ｘ−３/２)２

                    　　　　　　 ０＝(Ｘ−３/２)２

                    　　　　　　 Ｘ＝３/２

　　　　　　　　　　　　　　log２ｘ＝３/２

　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝２３/２＝８１/２＝２×２１/２

　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ＝２×２１/２  　　　   ∵　ｘｙ＝８

　　　　　以上により、log２ｘ×log２ｙ の最大値：９/４（ｘ＝ｙ＝２×２１/２)

　　　　　　　　　　　log２ｘ×log２ｙ の最小値： −４（ｘ＝１６、ｙ＝１/２）





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