例　題　





＜例題＞ｙ＝sin(ωｔ＋α) を微分しなさい。

＜解答＞ωｔ＋α＝θ とおくと、ｄ(ωｔ＋α)＝ｄθ、ωｄｔ＝ｄθ

　　　　上の式より、ｙ＝sin(ωｔ＋α)＝sin(θ)

　　　　　　　　　ｄｙ＝cosθｄθ

　　　　　　　　　　　＝(cosθ)ωｄｔ

　　　　　　 ｄｙ/ｄｔ＝ωcosθ＝ωcos(ωｔ＋α)



＜例題＞次の不定積分を求めよ。

　　　　１）∫(ｘ＋２)３ｄｘ

　　　　２）∫logｘｄｘ

＜解答＞１）ｘ＋２＝ｙ とおくと、ｄ(ｘ＋２)＝ｄｙ、ｄｘ＝ｄｙ

　　　　　　上の式より、∫(ｘ＋２)３ｄｘ

　　　　　　　　　　　　　　　＝∫(ｙ)３ｄｙ

　　　　　　　　　　　　　　　＝(１/４)ｙ４＋Ｃ

　　　　　　　　　　　　　　　＝(１/４)(ｘ＋２)４＋Ｃ


　　　　２）ｘlogｘ＝ｙ とおくと、

　　　　　　ｄ(ｘlogｘ)＝ｄｙ、ｄｘlogｘ＋ｘｄ(logｘ)＝ｄｙ、logｘｄｘ＝ｄｙ−ｄｘ

　　　　　　上の式より、∫logｘｄｘ＝∫(ｄｙ−ｄｘ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝∫ｄ(ｙ−ｘ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｙ−ｘ＋Ｃ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｘlogｘ−ｘ＋Ｃ



＜例題＞ｙｄｘ＋ｘｄｙ−２ｘｄｘ＝０ を解きなさい。

＜解答＞ｙｄｘ＋ｘｄｙ＝ｄｕ とおくと、ｄ(ｘｙ)＝ｄｕ，ｘｙ＋Ｄ＝ｕ

　　　　上の式を問題の方程式に代入、

　　　　　　　　　ｄｕ−２ｘｄｘ＝０

　　　　　　　　　　　　　　ｄｕ＝２ｘｄｘ

　　　　　　　　　　　　　　　ｕ＝ｘ３＋Ｅ

　　　　　　　　　　　　ｘｙ＋Ｄ＝ｘ３＋Ｅ
　
　　　　　　　　　　　　　　ｘｙ＝ｘ３＋Ｅ−Ｄ

　　　　　　　　　　　　　　ｘｙ＝ｘ３＋Ｃ


微積分は変換が縦横無尽に使われる分野です。




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