＜例題＞長方形ＡＢＣＤ の内部に、点 Ｐ をどのような位置にとっても、常に次式成り立つこと
を証明せよ。 |ＡＰ|２＋|ＣＰ|２＝|ＢＰ|２＋|ＤＰ|２
＜解答＞長方形ＡＢＣＤ の中心を Ｏ とすると、
ｄ(|ＡＰ|２＋|ＣＰ|２−|ＢＰ|２＋|ＤＰ|２)
＝ｄ(ＡＰＳ＋ＣＰＳ−ＢＰＳ−ＤＰＳ）
＝２{ＡＰ・ｄ(ＡＰ)}＋２{ＣＰ・ｄ(ＣＰ)}
−２{ＢＰ・ｄ(ＢＰ)}−２{ＤＰ・ｄ(ＤＰ)}
＝２{ＡＰ・ｄ(ＡＯ＋ＯＰ)}＋２{ＣＰ・ｄ(ＣＯ＋ＯＰ)}
−２{ＢＰ・ｄ(ＢＯ＋ＯＰ)}−２{ＤＰ・ｄ(ＤＯ＋ＯＰ)}
(１/２)ｄ(|ＡＰ|２＋|ＣＰ|２−|ＢＰ|２＋|ＤＰ|２)
＝{ＡＰ・ｄ(ＯＰ)}＋{ＣＰ・ｄ(ＯＰ)}
−{ＢＰ・ｄ(ＯＰ)}−{ＤＰ・ｄ(ＯＰ)}
＝(ＡＰ＋ＣＰ−ＢＰ−ＤＰ)・ｄ(ＯＰ)
＝(ＡＰ＋ＣＰ＋ＰＢ＋ＰＤ)・ｄ(ＯＰ)
＝(ＡＰ＋ＰＤ＋ＣＰ＋ＰＢ)・ｄ(ＯＰ)
＝(ＡＤ＋ＣＢ)・ｄ(ＯＰ)
＝◎・ｄ(ＯＰ)
＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
|ＡＰ|２＋|ＣＰ|２−|ＢＰ|２−|ＤＰ|２ の Ｐ に Ｏ を代入、
|ＡＰ|２＋|ＣＰ|２−|ＢＰ|２−|ＤＰ|２
＝|ＡＯ|２＋|ＣＯ|２−|ＢＯ|２−|ＤＯ|２
＝０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
(１)、(２) より、 |ＡＰ|２＋|ＣＰ|２−|ＢＰ|２−|ＤＰ|２＝０
∴ |ＡＰ|２＋|ＣＰ|２＝|ＢＰ|２＋|ＤＰ|２
この証明に対して、微分を使わない証明を持ち出し、この方が良いと抵抗す
る者がいました。確かに、それは上手い証明でした。そんな上手い証明が出来
れば・・・、勿論、それでも ＯＫ で、 ２つを併用し、競争する必要がありま
せん。
＜解答＞条件より、
{|ＡＰ|２＋|ＣＰ|２}−{|ＢＰ|２＋|ＤＰ|２}
＝{(ＡＰ)Ｓ＋(ＣＰ)Ｓ}−{(ＢＰ)Ｓ＋(ＤＰ)Ｓ}
＝{(ＡＰ)Ｓ−(ＢＰ)Ｓ}＋{(ＣＰ)Ｓ−(ＤＰ)Ｓ}
＝(ＡＰ−ＢＰ)・(ＡＰ＋ＢＰ)＋(ＣＰ−ＤＰ)・(ＣＰ＋ＤＰ)
＝(ＡＢ)・(ＡＰ＋ＢＰ)＋(ＣＤ)・(ＣＰ＋ＤＰ)
＝(ＡＢ)・(ＡＰ＋ＢＰ)−(ＡＢ)・(ＣＰ＋ＤＰ)
＝(ＡＢ)・(ＡＰ＋ＢＰ−ＣＰ−ＤＰ)
＝(ＡＢ)・(ＡＰ＋ＢＰ＋ＰＣ＋ＰＤ)
＝(ＡＢ)・(ＡＰ＋ＰＤ＋ＢＰ＋ＰＣ)
＝(ＡＢ)・(ＡＤ＋ＢＣ)
＝ＡＢ・ＡＤ＋ＡＢ・ＢＣ
＝０＋０ 条件より、ＡＢ⊥ＡＤ、ＡＢ⊥ＢＣ
＝０
∴ |ＡＰ|２＋|ＣＰ|２＝|ＢＰ|２＋|ＤＰ|２
確かに、微分を使わない方も、因数分解を使って、相当に上手い。この問題
は和算から拾ってきたものではありません。和算にはこの種問題が皆無なので
補充しました。
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