例　題　





＜例題＞図のように４本の線からなる(等脚台形をさかさにした)図において、甲斜の線の長さが

        各１寸のとき、この図の面積を最大にしたい。そのときの乙斜の長さはいくらか。


＜解答＞等脚台形の面積を ｓ、∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢ＝θ とすると、

　　　　　　　　　ｓ＝(１/２)(ＢＤ＊ＡＣ)

　　　　　　　　２ｓ＝ＢＤ＊ＡＣ

　　　　　　　　　　＝(ＢＣ＋ＣＤ)＊(ＡＢ＋ＢＣ)

　　　　　　　　　　＝ＢＣ＊ＡＢ＋ＢＣ＊ＢＣ＋ＣＤ＊ＡＢ＋ＣＤ＊ＢＣ

　　　　　　　　　　＝ＢＣ＊ＡＢ＋ＣＤ＊ＡＢ＋ＣＤ＊ＢＣ

　　　　　　　　　　＝−ＢＣ＊ＢＡ−ＣＤ＊ＢＡ−ＣＤ＊ＣＢ

　　　　　　　　　　＝ＢＡ＊ＢＣ＋ＢＡ＊ＣＤ＋ＣＢ＊ＣＤ

　　　　　　　　　　＝１×１×sinθ＋１×１×sin(２θ−π)＋１×１×sinθ

　　　　　　　　　　＝２sinθ＋sin(２θ)

　　　　　　　　　　＝２sinθ−２sinθcosθ

          　　   ｓ＝sinθ−sinθcosθ

　　      ｄｓ/ｄθ＝cosθ−cosθcosθ＋sinθsinθ＝１＋cosθ−２cosθcosθ

　　　　　　　 　　＝(１−cosθ)(１＋２cosθ)

　      ｄｓ/ｄθ＝０ のとき、ｓ は極値になるから、

　　　　　　　　１＋２cosθ＝０　　∵　π/２＜θ＜π

                      cosθ＝ー１/２＝cos(２π/３)

　　　　　　　　　　　　 θ＝２π/３

　　　　上の式より、

　　　　　　　(ＡＤ)Ｓ＝(ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ)Ｓ

                      ＝(ＡＢ)Ｓ＋(ＢＣ)Ｓ＋(ＣＤ)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　　　＋２(ＡＢ・ＢＣ)＋２(ＡＢ・ＣＤ)＋２(ＢＣ・ＣＤ)

                      ＝(１)２＋(１)Ｓ＋(１)Ｓ

　　　　　　　　　　　　　 　　　＋２×１×１×cos(π/３)

　　　　　　　　　　　　　　　　　    　　　＋２×１×１×cos(２π/３)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋２×１×１×cos(π/３)

                      ＝１＋１＋１＋１−１＋１

                      ＝４

　　　　　　　　|ＡＤ|＝２寸





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