例 題


<例題>図のように4本の線からなる(等脚台形をさかさにした)図において、甲斜の線の長さが

        各1寸のとき、この図の面積を最大にしたい。そのときの乙斜の長さはいくらか。

<解答>等脚台形の面積を s、∠ABC=∠DCB=θ とすると、          s=(1/2)(BD*AC)         2s=BD*AC           =(BC+CD)*(AB+BC)           =BC*AB+BC*BC+CD*AB+CD*BC           =BC*AB+CD*AB+CD*BC           =−BC*BA−CD*BA−CD*CB           =BA*BC+BA*CD+CB*CD           =1×1×sinθ+1×1×sin(2θ−π)+1×1×sinθ           =2sinθ+sin(2θ)           =2sinθ−2sinθcosθ    s=sinθ−sinθcosθ    ds/dθ=coaθ−cosθcosθ+sinθsinθ=1+cosθ−2cosθcosθ           =(1−cosθ)(1+2cosθ)   ds/dθ=0 のとき、s は極値になるから、         1+2cosθ=0  ∵ π/2<θ<π cosθ=ー1/2=cos(2π/3)              θ=2π/3     上の式より、        (AD)=(AB+BC+CD) =(AB)+(BC)+(CD)                +2(AB・BC)+2(AB・CD)+2(BC・CD) =(1)+(1)+(1)                  +2×1×1×cos(π/3)                      +2×1×1×cos(2π/3)                             +2×1×1×cos(π/3) =1+1+1+1−1+1 =4         |AD|=2寸
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