＜例題＞図のように円弧内に甲円１個、乙円２個を容れる。外円半径が５寸であるとき、弦の長
さと甲円半径の差を最大にしたい。そのときの乙円の半径はいくらか。
＜解答＞乙、甲円の半径をｘ、ｙ、弦の長さを ２ｚ とし、点は図に示してあるものとする。
条件から、(ＯＡ)Ｓ＝(ＯＨ＋ＨＡ)Ｓ＝(ＯＨ)Ｓ＋(ＨＡ)Ｓ
５２＝(５−２ｙ)２＋ｚ２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）
ｄ(５２)＝ｄ(５−２ｙ)２＋ｄｚ２
０＝２(５−２ｙ)ｄ(−２ｙ)＋２ｚｄｚ
＝(５−２ｙ)ｄ(−２ｙ)＋ｚｄｚ
＝−２(５−２ｙ)ｄｙ＋ｚｄｚ
ｄｚ＝{２(５−２ｙ)/ｚ}ｄｙ・・・・・・・・・・・・・・・・・（２）
条件から、(ＱＰ)Ｓ−(ＰＩ)Ｓ＝(ＱＩ)Ｓ＝(ＯＱ)Ｓ−(ＯＩ)Ｓ
(ｘ＋ｙ)２＋(ｙ−ｘ)２＝(５−ｘ)２−(５−２ｙ＋ｘ)２
４ｘｙ＝(５−ｘ)２−{(５＋ｘ)−２ｙ})２
＝(５−ｘ)２−(５＋ｘ)２＋４(５＋ｘ)ｙー４ｙ２
＝−２０ｘ＋４(５＋ｘ)ｙ−４ｙ２
＝−２０ｘ＋２０ｙ＋４ｘｙ−４ｙ２
０＝−２０ｘ＋２０ｙ−４ｙ２
＝−５ｘ＋５ｙ−ｙ２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・（３）
弦の半分の長さと甲円半径の差を ｓ とすると、
ｓ＝ｚ−ｙ
ｄｓ＝ｄｚ−ｄｙ
＝{２(５−２ｙ)/ｚ}ｄｙーｄｙ
ｓ が極値となるところで、ｄｓ＝０
０＝{２(５−２ｙ)/ｚ}ｄｙーｄｙ
＝{２(５−２ｙ)/ｚ}ー１
＝２(５−２ｙ)ーｚ
ｚ＝２(５−２ｙ)
上の式を（１）に代入、
５２＝(５−２ｙ)２＋{２(５−２ｙ)}２
５２＝５(５−２ｙ)２
５＝(５−２ｙ)２
ｙ＝(５−５１/２)/２
上の式を（３）に代入、
０＝−５ｘ＋５{(５−５１/２)/２}−{(５−５１/２)/２}２
５ｘ＝５{(５−５１/２)}/２−{(５−５１/２)}２/４
２０ｘ＝１０(５−５１/２)−{(５−５１/２)}２
＝５０−１０×５１/２−３０＋１０×５１/２
＝２０
ｘ＝１ （答） 乙円径 1寸
この解答は多分高等学校には通じないでしょう。これを通じさせるには、微
積分の体系を書き変える必要があります。現在・・・、大学教授連中も取り組
んでいるようですが、我々庶民のところに持って来れる数学にはなっていませ
ん。無限小解析、超準解析、イヤ、ハヤ、訳け解からんねぇ・・・。多分、欧
米の受け売りでしょう。これでは埒があきません。
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